88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 2

שאלה 1

א

תהי פונקציה f כך שיש לה פונקציה קדומה F בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. הוכח/הפרך: f אינטגרבילית בקטע.

ב

תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq [0,1] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |A|=\aleph_0 }[/math]. תהיי

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0 & x\notin\mathbb{Q}\\1 & x\in\mathbb{Q}\end{cases} }[/math]

הוכח שf אינה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] או הבא דוגמא לקבוצה A עבורה f כן אינטגרבילית בקטע.

ג

תהי f פונקציה אי שלילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \int_a^b{f(x)dx}=0 }[/math]. הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ f\equiv 0 }[/math] בקטע

ד

תהי f פונקציה רציפה אי שלילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \int_a^b{f(x)dx}=0 }[/math]. הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ f\equiv 0 }[/math] בקטע

ה

תהי f פונקציה רציפה כך שלכל פונקציה רציפה g מתקיים [math]\displaystyle{ \int_a^b{f(x)g(x)dx}=0 }[/math] הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ f\equiv 0 }[/math] בקטע

שאלה 2

א

הוכיחו כי קיים גבול לסדרה

[math]\displaystyle{ a_n=\sum_{k=1}^{2^n}sin\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n-1}}\Big)\cdots cos\Big(\frac{k}{2^{n+1}}\Big) }[/math]

ב

חשבו את גבול הסדרה

[math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^nke^{\frac{k^2}{n^2}} }[/math]