הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/5"
מתוך Math-Wiki
(←משפט דה-מואבר) |
(←משפט דה-מואבר) |
||
שורה 33: | שורה 33: | ||
'''תרגיל''': | '''תרגיל''': | ||
− | מצא את '''כל''' הפתרונות למשוואה <math>z^ | + | מצא את '''כל''' הפתרונות למשוואה <math>z^4=1</math> |
שורה 64: | שורה 64: | ||
ולכן <math>\theta = \frac{2\pi k}{3}</math> כאשר <math>k=0,1,2,3</math> | ולכן <math>\theta = \frac{2\pi k}{3}</math> כאשר <math>k=0,1,2,3</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''תרגיל''': | ||
+ | |||
+ | הוכח כי <math>sin(3\theta)=3cos^2(\theta)sin(\theta)-sin^3(\theta)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>cis(3\theta)=(cis\theta)^3=cos^3\theta+3cos^2\theta\cdot isin\theta + 3cos\theta(isin\theta)^2+(isin\theta)^3=</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>=cos^3\theta -3cos\theta sin^2\theta + i(3cos^2\theta sin\theta - sin^3\theta)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות. |
גרסה מ־08:41, 9 באוגוסט 2012
משפט דה-מואבר
מסתבר שקל יותר לבצע כפל בין מספרים מרוכבים בצורתן הפולרית:
כלומר כופלים את האורכים וסוכמים את הזויות.
הוכחה:
מסקנה: משפט דה-מואבר
תרגיל:
מצא את כל הפתרונות למשוואה
פתרון:
נסמן . עלינו למצוא זוית ואורך כך שיתקיים:
לכן . ו- היא זוית כך שכפול ארבע נגיע לזוית האפס.
הזויות המקיימות את זה הן:
כיצד ניתן לחשב את כולן?
נסמן
ולכן
ולכן כאשר
תרגיל:
הוכח כי
השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות.