הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2"
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←2) |
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←2) |
||
שורה 43: | שורה 43: | ||
*<math>|z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math> | *<math>|z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math> | ||
+ | <math>|z_1\cdot z_2|=|(x_1 x_2 -y_1 y_2)+(x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i| =\sqrt{ (x_1 x_2 - y_1 y_2)^2 + (x_1 y_2 +x_2 y_1)^2}=\sqrt{x_1^2 x_2^2+ y_1^2 y_2^2+x_1^2 y_2^2+x_2^2 y_1^2}</math> | ||
+ | |||
+ | אגף ימין: <math>|z_1|\cdot |z_2| = \sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{x_1^2 x_2^2+ y_1^2 y_2^2+x_1^2 y_2^2+x_2^2 y_1^2}</math> | ||
+ | |||
+ | שוב קיבלנו בשני המקרים את אותו ביטוי ולכן מתקיים השוויון | ||
גרסה מ־02:10, 13 באוגוסט 2012
1
מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:
לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא:
מתקיים שוויון כאשר . עד הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של . לכן אי השוויון מתקיים עבור
נסמן ונבדוק מתי . יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור . מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור
נפתח סוגריים ונקבל: . ניעזר בזהות ונגיע לאי השוויון: . מכאן נעביר אגפים ונקבל והפתרון שלו הוא או . זה מתקיים עבור:
נציב ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור . לכן .
אם : נקבל וזה לא יתכן.
: נקבל וזה גם לא יתכן.
עבור : אי השוויון הוא וזה מתקיים לכל
2
הוכח:
נסמן . נחשב את אגף שמאל:
נחשב את אגף ימין:
בשני המקרים קיבלנו את אותו ביטוי לכן מתקיים שוויון.
אגף ימין:
שוב קיבלנו בשני המקרים את אותו ביטוי ולכן מתקיים השוויון