אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}f_n }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

ארכיון 6 - תרגיל 6

ארכיון 7 - (מי עוקב)

שאלות

לקראת הבוחן

יש מצב שיועלו לאתר בחנים לדוגמא / שאלות לתרגול?

תרגיל 8 שאלה 6

אם אני אקח f(x)= 1/delta כאשר X=0 ואחרת f(x)= x/sin(x*delda אז f גזירה ברציפות ועונה על נתוני השאלה אך הגבול שמופיע בשאלה אינו שווה ל-0 כאשר ניקח למשל גבולות אינטגרציה מ-2 ל-1. אז איך מוכיחים דבר שניתן להפרכה?

תשובה

מה זאת אומרת [math]\displaystyle{ f=\frac{1}{\lambda} }[/math]? זה אומר למעשה שאתה משנה את f יחד עם הגבול. אבל f הינה פונקציה של x בלבד, היא לא אמורה להשתנות לפי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

שאלה

[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] זה לא סקלאר?

זה לא לינארית, מה זה אומר סקאלר? הוא משתנה גם כן, ועליו אנחנו לוקחים את הגבול. f הינה פונקציה של המשתנה x ואילו האינטגרל המסויים הינו פונקציה של המשתנה [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. לכן אפשר לקחת את הגבול של הפונקציה הזו באינסוף

תרגיל 9

גם השבוע לקבוצה שמתרגלת בימי ראשון יהיה תרגיל נוסף, ולקבוצה השנייה לא, כתוצאה מחג שבועות. למתרגלים של הקבוצה הראשונה - ארז, למה שלא תתן שבוע חופש לקבוצה שלך מהגשת תרגילים (הכוונה לתרגיל 9 שעדיין לא פורסם), לקראת הבוחן שקרב ובא, וכך גם לא יווצר פער נוסף בהגשת התרגילים לקבוצה השנייה?

תשובה

זה אכן התכנון, תנו לנו קצת קרדיט.

שאלה

יכול להיות שבשאלה 5 (תרגיל 8) בהגדרה של rn, בסיגמה k צריך לרוץ רק עד n-1? תומר טקסט מודגש - נכון , זה מה שצריך להיות . יתוקן !

תרגיל 8

בשאלה 6, יכול להיות שהנתון גזירה ברציפות מיותר? לא מספיק להניח שהיא רק רציפה ב- [a,b]? (זאת מסקנה ישירה מהנתון על הגזירות, אבל האם כל השאר באמת הכרחי?)

תומר - אגלה לך רמז ואל תגלה לאף אחד ! - בעיקרון מספיק להניח שהפונקציה "רק" אינטגרבילית , אבל אז ההוכחה לטענה קצת יותר מורכבת . אבל לך על זה ! :) - מה אמרת לגבי "מסקנה ישירה מהגזירות " ? - ראינו שהתנאי שפונקציה גזירה , לא אומר שנגזרתה רציפה , ובטח לא אומר שנגזרתה אינטגרבילית ...

לדעתי מספיק להניח שהיא רציפה בקע, לכן היא אינטגרבילית שם וחסומה, וההמשך ע"י הסנדוויץ'... לא? זה הפתרון המסובך?

תומר - לא מגלה ...:) יכול להגיד שלפי הנתון בשאלה , ההוכחה היא די פשוטה . בהמשך אפרסם לכם הוכחה למקרה הכללי , כשהפונקציה רק אינטגרבילית ! תומר - שוב אני . ראה , כשאתה אומר "לדעתי " - תן לדיעה הזו נימוק מתמטי או - מצא בסופו של דבר שזה לא נכון . אין הגיון כאשר אתה עוד בשלב ה"לדעתי " - שאני אפסול לך את הכיוון או אאשר אותו ,כי אתה צריך לבנות אינטואיציה ולהוכיח אותה או להפריך מתמטית . עדיף לך (!) שלא אכוון אותך בשלב זה , אלא ש"תתלכלך " קצת עם ניר ועיפרון . אמרתי לכם שעוד תודו לי יום אחד :) בהצלחה !

תרגיל 8

בשאלה 1 b כיצד אפשר לדעת משהו על התחום בין Pi/2 ל-Pi?

תשובה

צודק, יש טעות בשאלה, אני מיד מעלה תיקון

שאלה

כשמבקשים ממני למצוא גבול של סדרה (כמו בשאלה 5 - בתרגיל 7). נניח לקחתי את הקטע [0,1] ואני רוצה לחלק אותו לn קטעים שווים. יש רק דרך אחת לחלק אותו.. לא? כלומר אני לוקחת רק חלוקה אחת כזו?

תשובה

ההגדרה של אינטגרביליות לפי רימן אומרת שלכל חלוקה עם פרמטר חלוקה מספיק קטן, סכום הרימן קרוב לאינטגרל המסויים עד כדי אפסילון.

אני לא בטוח מה כוונת השאלה בדיוק, אבל את הקטע אפשר לחלק בהרבה דרכים. דרך אחת תוביל לפתרון התרגיל.

אם למשל n=4. יש רק דרך אחת לחלק את הקטע [0,1] לn קטעים לא? (זאת שאלתי.)

ועוד שאלה. בנוגע לאינטגרציה בהצבה - באינטגרל מסוים. למדנו את המקרה כאשר ההצבה היא x=g(t). אך מה קורה כאשר t=g(x)? מהם גבולות האינטגרציה??

בוודאי שלא, מי אמר שהחלקים צריכים להיות שווים? למשל חלק באורך חצי ושלושה חלקים באורך שישית, או ארבע חלקים באורך רבע וכו'.

סליחה - התכוונתי לn חלקים שווים :-) אז זו בעצם דרך החלוקה שאבחר בשאלה על מנת להתאים את האיבר הכללי לסכום רימן.

לא כדאי להסתבך יותר מידי עם התרגיל הספציפי הזה אבל...

דיברנו כבר על העניין הזה. ההצבה ההפוכה היא למעשה הצבה מהאינטרגל החדש בחזרה לישן, וכך אפשר גם להבין מה יהיה גבולות האינטגרציה. (בכל מקרה מסתכלים על התחום של המשנה הידוע, ורואים באיזה תחום נמצא המשתנה החדש).

פתרונות

היי תומר/ארז. תרגילים 7 ו8 כלולים בחומר של הבוחן.. אני מודע לכך שקבוצה אחת לא תגיש את תרגיל 7 עד הבוחן ואולי אף שתי הקבוצות לא יגישו את 8?.. אבל תוכל בבקשה להעלות את הפתרונות שלהם לקראת הבוחן? זה חשוב.

שאלה קטנה

ב1a (תרגיל 7). החלק הראשון של ההוכחה טריוויאלי לא? פשוט 'הראיתי' (טריוויאלי כשלעצמו - בדקתי בקצוות) שg(x)=f(y) כאשר g בתחום a-alpha, b-alpha וf בתחום a,b..

תשובה

האם בדיקה בקצוות מוכיחה שהפונקציה אינטגרבילית?

לא. אבל הראיתי שהפונקציות שוות על ידי בדיקה בקצוות.. (זה טריוויאלי.. אני לא ממש יודעת איך להראות את זה בדרך אחרת..)

הפונקציות בוודאי לא שוות. הן מקבלות את אותם הערכים בקטעים השונים. אפשר להראות את זה בעזרת הגדרת האינטגרל המסוים לפי סכומי רימן.

תרגיל 8

בשאלה 1 a, האם מספיק להצביע על טעות אחת שעשה דני? או שצריך להראות את כולן?

תשובה

צריך לעלות על הנקודה העיקרית, סעיף ב' קצת עוזר להבין את זה אני חושב.