הבדלים בין גרסאות בדף "תקציר אנליזה מודרנית 1, סמסטר א תשע״ג"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "== מידת לבג == === מידה חיצונית === בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, <math>\{I_n\}_{n=1}^\infty</math> היא סדרת קטעים פ...") |
מ (←מידה חיצונית) |
||
שורה 4: | שורה 4: | ||
* '''מידה חיצונית:''' תהי <math>E\subseteq\mathbb R</math>. המידה החיצונית של <math>E</math> היא <math>m^*(E):=\inf\left\{\sum_{n=1}^\infty|I_n|:\ E\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty I_n\right\}</math>. | * '''מידה חיצונית:''' תהי <math>E\subseteq\mathbb R</math>. המידה החיצונית של <math>E</math> היא <math>m^*(E):=\inf\left\{\sum_{n=1}^\infty|I_n|:\ E\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty I_n\right\}</math>. | ||
* <math>\forall E\subseteq\mathbb R:\ m^*(E)\in[0,\infty)</math> | * <math>\forall E\subseteq\mathbb R:\ m^*(E)\in[0,\infty)</math> | ||
− | * <math>\forall x_0\in\mathbb | + | * <math>\forall x_0\in\mathbb R:\ m^*(\{x_0\})=m^*(\varnothing)=0</math> |
* '''מונוטוניות עולה חלשה:''' <math>\forall A\subseteq B\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)\le m^*(B)</math>. | * '''מונוטוניות עולה חלשה:''' <math>\forall A\subseteq B\subseteq\mathbb R:\ m^*(A)\le m^*(B)</math>. | ||
* אם <math>E</math> קטע אזי <math>m^*(E)=|E|</math>. | * אם <math>E</math> קטע אזי <math>m^*(E)=|E|</math>. | ||
* אם <math>\{E_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת קבוצות ב־<math>\mathbb R</math> ו־<math>E=\bigcup_{n=1}^\infty E_n</math> אזי <math>m^*(E)\le\sum_{n=1}^\infty m^*(E_n)</math>. | * אם <math>\{E_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרת קבוצות ב־<math>\mathbb R</math> ו־<math>E=\bigcup_{n=1}^\infty E_n</math> אזי <math>m^*(E)\le\sum_{n=1}^\infty m^*(E_n)</math>. | ||
* '''הזזה:''' בהנתן קבוצה <math>E</math> ו־<math>x_0\in\mathbb R</math> הקבוצה <math>x_0+E=E+x_0</math> היא הזזה שלה ומוגדרת כ־<math>\{x_0+x:\ x\in E\}</math>. | * '''הזזה:''' בהנתן קבוצה <math>E</math> ו־<math>x_0\in\mathbb R</math> הקבוצה <math>x_0+E=E+x_0</math> היא הזזה שלה ומוגדרת כ־<math>\{x_0+x:\ x\in E\}</math>. | ||
− | * '''שמירות תחת הזזה:''' <math>\forall x_0\in\mathbb | + | * '''שמירות תחת הזזה:''' <math>\forall x_0\in\mathbb R\ \and\ E\subseteq\mathbb R:\ m^*(x_0+E)=m^*(E)</math>. |
* לא קיימת מידה <math>m</math> על <math>\mathbb R</math> המקיימת את כל התכונות הבאות: | * לא קיימת מידה <math>m</math> על <math>\mathbb R</math> המקיימת את כל התכונות הבאות: | ||
*# <math>m(E)</math> קיימת לכל <math>E\subseteq\mathbb R</math> ומקיימת <math>0\le m(E)\le\infty</math>. | *# <math>m(E)</math> קיימת לכל <math>E\subseteq\mathbb R</math> ומקיימת <math>0\le m(E)\le\infty</math>. |
גרסה אחרונה מ־18:50, 5 בנובמבר 2012
מידת לבג
מידה חיצונית
בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, היא סדרת קטעים פתוחים. כמו כן, בהנתן קטע נסמן כ־ את אורכו (השווה ל־) במקום את עוצמתו.
- מידה חיצונית: תהי . המידה החיצונית של היא .
- מונוטוניות עולה חלשה: .
- אם קטע אזי .
- אם סדרת קבוצות ב־ ו־ אזי .
- הזזה: בהנתן קבוצה ו־ הקבוצה היא הזזה שלה ומוגדרת כ־.
- שמירות תחת הזזה: .
- לא קיימת מידה על המקיימת את כל התכונות הבאות:
- קיימת לכל ומקיימת .
- לכל קטע , .
- שמורה תחת הזזה.
- אם אזי .
- קבוצה מדידה: תהי . היא תקרא "מדידה" או "מדידה לבג" אם .
- אם מדידות וזרות אזי .
- מדידה אם״ם מדידה.
- מדידה אם״ם .
- אם אזי מדידה.
- אם מדידה אזי לכל , גם מדידה.
- כל קטע מהצורה () מדיד.