הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/פתרון מועד א - גרסת שנפס"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף א) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
||
שורה 218: | שורה 218: | ||
נותר רק למצוא את גבולה. | נותר רק למצוא את גבולה. | ||
− | + | נניח ש | |
− | + | <math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L</math> | |
+ | |||
+ | וברור ש | ||
<math>\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x_0}{n+1}=0</math> | <math>\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x_0}{n+1}=0</math> | ||
שורה 226: | שורה 228: | ||
ולכן מתקיים | ולכן מתקיים | ||
− | <math>\lim_{n\rightarrow \infty} a_{n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_0 | + | <math>\lim_{n\rightarrow \infty} a_{n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_0}{n+1}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty}a_n = 0\cdot L=0</math> |
− | + | ||
− | + | ||
לכן הגבול הוא <math>0</math>. | לכן הגבול הוא <math>0</math>. |
גרסה מ־20:17, 29 בינואר 2013
תוכן עניינים
שאלה 1
סעיף ב
ידוע כי
נניח ש
נסמן
כלומר
טענת עזר: קיים כך שאם אז
(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב שיותר קטנים מ )
הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ שעבורם
אז קיימת תת סדרה כך ש לכל
נשים לב ש היא חסומה מלרע ולכן חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
לכן ל יש תת סדרה מתכנסת כך ש
וזאת בסתירה לכך ש
זה מוכיח את טענת העזר.
כעת, אנחנו יודעים שהחל מ כלשהוא מתקיים
אבל בגלל ש זה אומר שהחל מאותו מתקיים
בגלל שהטור מתבדר
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור מתבדר.
שאלה 2
סעיף א
טענת עזר: אם קבוצות חסומות מלעיל אז
הוכחה: נוכיח שהמספר מקיים את התכונות של
- תכונה א': חסם מלעיל של . הוכחה:
אם אז ניתן לכתוב כאשר .
היות ו ו מתקיים
- תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:
יהי איזשהוא חסם מלעיל של
נניח בשלילה ש
אז נקבל ש
ולכן קיים כך ש
מכאן נקבל
ולכן קיים כך ש
ולכן
בסתירה לכך ש חסם מלעיל של
לכן בהכרח מתקיים
לסיכום: הוכחנו שהמספר מקיים את שתי התכונות של חסם עליון
ולכן . מש"ל טענת עזר.
עכשיו קל להוכיח את הדרוש:
מש"ל.
סעיף ב
הפרכה פשוטה, ניקח ו
מתקיים שלכל (ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל ).
אבל
שתי הערות:
א) כמעט לכל פירושו: לכל פרט למספר סופי של מקרים.
אן לחילופין: קיים כך שהטענה מתקיימת לכל .
ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה
אם ו
אז
.
שאלה 3
סעיף א
נשים לב שבסכום זה יש מחוברים. כאשר מספר המחוברים תלוי ב אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות.
במקרה הזה נשתמש במשפט הסנדויץ.
נגדיר:
בגלל ש (כאשר )
ברור ש
ולכן
בצורה דומה נגדיר
ויתקיים
ו
לכן לפי כלל הסנדויץ
סעיף ב
כאשר ו .
נשים לב ש
ולכן
- טענה: לכל מתקיים
הוכחה: באינדוקציה, ידוע כבר כי אבל אם בהכרח יתקיים
כי ו .
- טענה: עבור מתקיים .
כלומר הסדרה יורדת אם .
הוכחה: אם אז ולכן
(נשים לב שכאן משתמשים בכך ש )
קיבלנו שהחל מ כלשהוא, הסדרה היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע.
בגלל שמספר סופי של איברים לא משנה את גבול הסדרה, נקבל ש מתכנסת (כי החל מנקודה מסוימת היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע).
נותר רק למצוא את גבולה.
נניח ש
וברור ש
ולכן מתקיים
לכן הגבול הוא .