הבדלים בין גרסאות בדף "אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית"
מתוך Math-Wiki
(←מצב רביעי deg(p)>deg(q)) |
(←מצב חמישי) |
||
שורה 93: | שורה 93: | ||
*נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני. | *נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני. | ||
− | ==מצב חמישי | + | ==מצב חמישי <math>p=f',q=f^m</math>== |
− | + | ||
− | <math> | + | |
+ | <math>\int {\frac{f'}{f^m}}</math> מבצעים את ההצבה <math>t=f(x)</math> | ||
=דוגמאות= | =דוגמאות= |
גרסה מ־09:06, 13 במרץ 2013
תוכן עניינים
אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
תהי פונקציה מהצורה כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב
.
עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).
מצב ראשון ![deg(p)=deg(q)-1](/images/math/e/e/e/eeeef230fe58ddf0e37d696d924a84cd.png)
ניתן למצוא קבוע c כך ש כך ש
.
אז רושמים
וממשיכים לשלב הבא:
מצב שני ![deg(p)<deg(q)-1](/images/math/a/a/3/aa3dfca554f970e675e154fa0f5da624.png)
- נפרק את q לגורמים אי פריקים:
- כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
- נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים
.
- נחשב כל מחובר בנפרד:
אינטגרל מהצורה ![I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}](/images/math/6/e/2/6e25c037c1802225ced141de0d1f7104.png)
נבצע הצבה על מנת לקבל:
אינטגרל מהצורה
(כאשר המכנה אי פריק)
- נבצע השלמה לריבוע על מנת לקבל את האינטגרל
- כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה
- נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
אינטגרל מהצורה
(כאשר המכנה אי פריק)
- דבר ראשון, בדומה למצב הראשון,נצמצם את הבעייה לאינטגרל מהצורה
- את החלק
פותרים לפי הנוסחא לעיל
- לחלק הנותר נבצע הצבה
לקבל אינטגרל פתיר מהצורה
מצב שלישי ![deg(p)=deg(q)](/images/math/9/8/f/98f777794dc7abc1200752e48790ff3e.png)
- קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים
וגם
.
- נפריד את האינטגרל לשניים
- נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
מצב רביעי ![deg(p)>deg(q)](/images/math/5/e/6/5e6534da00927bbbc9614bd172e5054c.png)
- נבצע חלוקת פולינומים על מנת לקבל את הנוסחא
כאשר מתקיים
- מתקיים
- נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.
מצב חמישי ![p=f',q=f^m](/images/math/c/b/2/cb2a5f64d98fbdbcbd0cd0bc59907625.png)
מבצעים את ההצבה
דוגמאות
דוגמא 1
בדוגמא זו ניתן להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה ולקבל