הבדלים בין גרסאות בדף "חשבון אינפיניטיסימלי 2 - פתרון מועד א תשע"ג"
מתוך Math-Wiki
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
||
שורה 40: | שורה 40: | ||
ברור ש | ברור ש | ||
− | <math>\int\frac{\frac{2}{3}}{x-1}\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\ln(x-1)+ | + | <math>\int\frac{\frac{2}{3}}{x-1}\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\ln(x-1)+c</math> |
− | נותר לחשב את <math> | + | נותר לחשב את <math>-\frac{2}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x</math> |
לפי השלמה לריבוע | לפי השלמה לריבוע | ||
<math>\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x=\int\frac{x+2}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}x</math> | <math>\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x=\int\frac{x+2}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}x</math> | ||
+ | |||
+ | נבצע הצבה <math>t=x+\frac{1}{2}</math> (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם | ||
+ | |||
+ | <math>\int\frac{t+\frac{3}{4}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int\frac{2t+\frac{3}{2}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=\frac{1}{2}\int\frac{2t}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t+\int\frac{\frac{3}{4}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=\frac{1}{2}\ln(t^2+\frac{3}{4})+\frac{3}{4}\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\arctan\frac{t}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=\frac{1}{2}\ln((x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})+\sqrt{\frac{3}{4}}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ולכן <math>-\frac{2}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x=-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\ln((x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})+\sqrt{\frac{3}{4}}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+c</math> | ||
+ | |||
+ | אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא | ||
+ | |||
+ | <math>x+\frac{2}{3}\ln(x-1)-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\ln((x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})+\sqrt{\frac{3}{4}}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+c</math> |
גרסה מ־17:25, 8 ביולי 2013
שאלה 2
סעיף א
נציב ואז
לאחר הצבה נקבל
סעיף ב
על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש
אז נתמקד בחישוב
לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש
כלומר קיבלנו מערכת משוואות
וקל לראות שהפתרון שלה הוא:
ברור ש
נותר לחשב את
לפי השלמה לריבוע
נבצע הצבה (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם
ולכן
אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא