88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעג/תרגילים/פתרון 1

חלק ראשון

1

1. "אם ערן רעב הוא עצבני."
2. "כאשר ערן אינו עצבני הוא לא רעב."

נסמן

• p = ערן רעב
• q = ערן עצבני

אזי ההצרנה של הפסוקים הינה:

1. [math]\displaystyle{ p\rightarrow q }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \urcorner q \rightarrow \urcorner p }[/math]

למדנו בכיתה כי שני הפסוקים הללו שקולים.

2

1. "מי שטוב לו ושמח כף ימחה"
2. "מי שלא טוב לא או לא שמח לא ימחה כף"

נסמן

• [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] = טוב לx
• [math]\displaystyle{ q(x) }[/math] = שמח לx
• [math]\displaystyle{ r(x) }[/math] = x ימחא כף

אזי ההצרנה של הפסוקים הינה:

1. [math]\displaystyle{ \forall x:p(x)\and q(x) \rightarrow r(x) }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \forall x: \urcorner p(x) \or \urcorner q(x) \rightarrow \urcorner r(x) }[/math]

הפסוקים אינם שקולים.

הפרכה: אדם שמוחא כף אך אינו שמח ולא טוב לו. כלומר [math]\displaystyle{ p(x)=F,q(x)=F,r(x)=T }[/math]

הפסוק הראשון מתקיים ואילו השני לא מתקיים.

3

1. "אם אייל שמח ענת גבוהה, ואם ענת גבוהה צחי חמוד"
2. "אם אייל שמח אז צחי חמוד"

נסמן

• p = אייל שמח
• q = ענת גבוהה
• r = צחי חמוד

אזי ההצרנה של הפסוקים הינה:

1. [math]\displaystyle{ (p \rightarrow q)\and (q\rightarrow r) }[/math]
2. [math]\displaystyle{ p\rightarrow r }[/math]

הפסוקים אינם שקולים.

הפרכה: אייל אינו שמח, ענת גבוהה וצחי אינו חמוד.

הפסוק הראשון אינו מתקיים ואילו הפסוק השני מתקיים.

4

1. "אם ערן רעב הוא עצבני."
2. "ערן עצבני או שאינו רעב"

נסמן

• p = ערן רעב
• q = ערן עצבני

אזי ההצרנה של הפסוקים הינה:

1. [math]\displaystyle{ p\rightarrow q }[/math]
2. [math]\displaystyle{ q \or \urcorner p }[/math]

למדנו בכיתה כי שני הפסוקים הללו שקולים.

5

1. "ערן עצבני או רעב, וגם עייף"
2. "ערן עצבני או עייף וגם רעב או עייף"

נסמן

• p = ערן רעב
• q = ערן עצבני
• r = ערן עייף

אזי ההצרנה של הפסוקים הינה:

1. [math]\displaystyle{ (q\or p)\and r }[/math]
2. [math]\displaystyle{ (q\or r)\and (p\or r) }[/math]

למדנו בכיתה כי שני הפסוקים הללו שקולים.

6

1. "הקרנף רץ או הגירפה אוכלת, והאריה צד או הקוף קופץ"
2. "הקרנף רץ והאריה צד או הקרנף רץ והקוף קופץ או הג'ירפה אוכלת והאריה צד או הג'ירפה אוכל והקוף קופץ"

נסמן

• p = הקרנף רץ
• q = הגי'רפה אוכלת
• r = האריה צד
• s = הקוף קופץ

אזי ההצרנה של הפסוקים הינה:

1. [math]\displaystyle{ (p \or q) \and (r \or s) }[/math]
2. [math]\displaystyle{ (p\and r) \or (p\and s) \or (q\and r) \or (q\and s) }[/math]

קל להראות באמצעות חוק הדיסטריביוטיביות (פילוג) כי שני הפסוקים הללו שקולים.

חלק שני

1

• "כל מאכל, יש שף שמכין אותו טעים"

נסמן:

• A קבוצת המאכלים
• B קבוצת השפים
• [math]\displaystyle{ P(a,b) }[/math] = השף b מכין את המאכל a טעים.

הצרנת הפסוק הינה

• [math]\displaystyle{ \forall a\in A\exists b\in B:P(a,b) }[/math]

סמנו את השלילות

• 1. "כל מאכל, יש שף שמכין אותו לא טעים"

לא שלילה. ייתכן וכל השפים מכינים את כל המאכלים לא טעים, ושני הפסוקים שקריים.

• 2. "יש מאכל שכל השפים מכינים אותו לא טעים"

שלילה. הצרנת הפסוק: [math]\displaystyle{ \exists a\in A\forall b\in B: \urcorner P(a,b) }[/math]

• 3. "כל מאכל, כל השפים מכינים אותו טעים"

לא שלילה. אם הפסוק הזה נכון וקיים מאכל כלשהו, אז בפרט הפסוק המקורי נכון.

• 4. "יש מאכל, שכל השפים מכינים טעים"

לא שלילה. ייתכן שיש מאכל כזה אבל יש גם מאכל אחר שכל השפים מכינים לא טעים ואז גם פסוק זה וגם הפסוק המקורי נכונים.

• 5. "יש מאכל, שאף שף לא מכין טעים"

שלילה. הצרנת הפסוק: [math]\displaystyle{ \exists a\in A :\urcorner\Big(\exists b\in B:P(a,b)\Big) }[/math]

• 6. "כל מאכל, אף שף לא מכין לא טעים"

לא שלילה. ייתכן שקיים מאכל ושף אחד מכין אותו טעים, וקיים מאכל שאף שף לא מכין טעים ובמקרה זה גם הפסוק הזה וגם המקורי אינם נכונים.

2

• "לכל דג עם קשקשים ולכל חרק עם מחושים, אם הדג שמח החרק יושב על פרח"

נסמן:

• A קבוצת הדגים
• B קבוצת החרקים
• [math]\displaystyle{ p(a) }[/math] = לדג a יש קשקשים
• [math]\displaystyle{ q(a) }[/math] = הדג a שמח
• [math]\displaystyle{ r(b) }[/math] = לחרק b יש מחושים
• [math]\displaystyle{ s(b) }[/math] = החרק b יושב על פרח

הצרנת הפסוק הינה

• [math]\displaystyle{ \forall a\in A\forall b\in B:\Big(p(a)\and r(b)\Big)\rightarrow \Big(q(a)\rightarrow s(b)\Big) }[/math]

סמנו את השלילות

• 1. "לכל דג עם קשקשים ולכל חרק ללא מחושים הדג שמח והחרק אינו יושב על פרח"

לא שלילה. נניח יש דג שמח עם קשקשים, חרק ללא מחושים שאינו יושב על פרח וחרק עם מחושים שכן יושב על פרח. הפסוק הזה והמקורי נכונים

• 2. "יש מאכל שכל השפים מכינים אותו לא טעים"

שלילה. הצרנת הפסוק: [math]\displaystyle{ \exists a\in A\forall b\in B: \urcorner P(a,b) }[/math]

• 3. "כל מאכל, כל השפים מכינים אותו טעים"

לא שלילה. אם הפסוק הזה נכון וקיים מאכל כלשהו, אז בפרט הפסוק המקורי נכון.

• 4. "יש מאכל, שכל השפים מכינים טעים"

לא שלילה. ייתכן שיש מאכל כזה אבל יש גם מאכל אחר שכל השפים מכינים לא טעים ואז גם פסוק זה וגם הפסוק המקורי נכונים.

• 5. "יש מאכל, שאף שף לא מכין טעים"

שלילה. הצרנת הפסוק: [math]\displaystyle{ \exists a\in A :\urcorner\Big(\exists b\in B:P(a,b)\Big) }[/math]

• 6. "כל מאכל, אף שף לא מכין לא טעים"

לא שלילה. ייתכן שקיים מאכל ושף אחד מכין אותו טעים, וקיים מאכל שאף שף לא מכין טעים ובמקרה זה גם הפסוק הזה וגם המקורי אינם נכונים.