הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:גרעין ותמונה עם פירוק לתתי מרחבים אינווריאנטיים"
(יצירת דף עם התוכן "\textbf{למה:} יהי $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$ סכום ישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים תחת האופרטור הלינארי...") |
|||
| שורה 7: | שורה 7: | ||
\item $\ker T=\ker T|_{U_1}\oplus\cdots\oplus\ker T|_{U_k}$ | \item $\ker T=\ker T|_{U_1}\oplus\cdots\oplus\ker T|_{U_k}$ | ||
| − | \item $ | + | \item $im T=im T|_{U_1}\oplus\cdots\oplus im T|_{U_k}$ |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
| שורה 17: | שורה 17: | ||
$u_i\in\ker T|_{U_i}\Leftrightarrow\left(i=1,\dots,k \right )w_i=0\Leftrightarrow w=0\Leftrightarrow T\left(v \right )=0\Leftrightarrow v\in\ker T$ | $u_i\in\ker T|_{U_i}\Leftrightarrow\left(i=1,\dots,k \right )w_i=0\Leftrightarrow w=0\Leftrightarrow T\left(v \right )=0\Leftrightarrow v\in\ker T$ | ||
| − | $w_i\in | + | $w_i\in im T|_{U_i}\Leftrightarrow w\in im T$ |
שני הסכומים הם ישרים, כי המחוברים הם תתי-מרחבים של $U_i$. | שני הסכומים הם ישרים, כי המחוברים הם תתי-מרחבים של $U_i$. | ||
גרסה מ־19:14, 19 באוגוסט 2014
\textbf{למה:}
יהי $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$ סכום ישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים תחת האופרטור הלינארי $T:V\rightarrow V$. אזי מתקיים:
\begin{enumerate}
\item $\ker T=\ker T|_{U_1}\oplus\cdots\oplus\ker T|_{U_k}$
\item $im T=im T|_{U_1}\oplus\cdots\oplus im T|_{U_k}$
\end{enumerate}
\textit{הוכחה:}
כל $v\in V$ ניתן להצגה בצורה $v=u_1+\cdots+u_k$, כאשר $u_i\in U_i$ לכל $i=1,\dots,k$. לכן, $T\left (v \right )=T\left (u_1 \right )+\cdots+T\left (u_k \right )$. לכן $w=w_1+\cdots+w_k$, כאשר לכל $i=1,\dots,k$, מתקיים $w_i\in U_i$ כי $U_i$ אינווריאנטי.
$u_i\in\ker T|_{U_i}\Leftrightarrow\left(i=1,\dots,k \right )w_i=0\Leftrightarrow w=0\Leftrightarrow T\left(v \right )=0\Leftrightarrow v\in\ker T$
$w_i\in im T|_{U_i}\Leftrightarrow w\in im T$
שני הסכומים הם ישרים, כי המחוברים הם תתי-מרחבים של $U_i$.
