הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:דוגמאות לפולינומים מינימליים"
שורה 9: | שורה 9: | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | \ | + | \end{example} |
+ | |||
+ | \begin{proof} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
שורה 28: | שורה 30: | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | \end{ | + | \end{proof} |
גרסה מ־16:17, 2 בספטמבר 2014
\begin{example} נציג דוגאות לפולינום מינימלי.
\begin{enumerate}
\item אם $A=\lambda I_n$, אזי $m_A\left(x\right)=x-\lambda$.
\item אם $A=J_n\left(\lambda\right)$, אזי $m_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$.
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item קל לראות כי $x-\lambda$ הוא פולינום מאפס ל-$\lambda I_n$, והוא בדרגה המינימלית האפשרית לפולינום מאפס. לכן, הוא פולינום מינימלי.
\item אם $A=J_n\left(\lambda\right)$, אזי $p_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$. לכן, $m_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^k$ עבור $1\leq k\leq n$ כלשהו. נציב את $A$, ונקבל $$m_A\left(A \right )=\left(A-\lambda I \right )^k={\underbrace{\left(\begin{matrix} 0 &1 & & 0\\
& 0 & \ddots & \\ & & \ddots &1 \\
0 & & & 0 \end{matrix} \right )}_N}^k=N^k$$ על ידי חישוב, ניתן לוודא כי $N^2\neq0$, $N^3\neq 0$, וכן הלאה, עד ש-$N^{n-1}\neq 0$, אבל $N^n=0$. רוצים $m_A\left(A \right )=N^k=0$, כלומר $n\leq k$. אבל גם אמרנו $1\leq k\leq n$. לכן, $k=n$, ומכאן מקבלים הדרוש.
\end{enumerate}
\end{proof}