הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:המשפט על שורש של פולינום"
(יצירת דף עם התוכן "המשפט הבא מאוד אינטואיטיבי, ואכן הוכחתו גם כן איננה מאתגרת במיוחד. \textbf{משפט:} יהי $f\in\mathbb...") |
|||
שורה 7: | שורה 7: | ||
\textit{הוכחה:} | \textit{הוכחה:} | ||
− | נשתמש בחילוק עם שארית לזוג הפולינומים $f$ ו-$x-\alpha$. אזי קיימים פולינומים $g\left(x \right ),r\left(x \right )\in\mathbb{F}\left[x \right ]$ שעבורם $f=\left(x-\alpha \right )g+r$, כאשר מתקיים $r\equiv0$ | + | נשתמש בחילוק עם שארית לזוג הפולינומים $f$ ו-$x-\alpha$. אזי קיימים פולינומים $g\left(x \right ),r\left(x \right )\in\mathbb{F}\left[x \right ]$ שעבורם $f=\left(x-\alpha \right )g+r$, כאשר מתקיים $r\equiv0$ )כלומר, מקבל ערך אפס תמיד( או $\deg\left(r\right)<\deg\left(x-\alpha\right)$. |
קל לראות כי התנאים האלו אומרים, למעשה, כי $r$ הוא סקלר כלשהו מ-$\mathbb{F}$. | קל לראות כי התנאים האלו אומרים, למעשה, כי $r$ הוא סקלר כלשהו מ-$\mathbb{F}$. | ||
נציב בשוויון הפולינומים $f=\left(x-\alpha \right )g+r$ את האיבר $x=\alpha$; אזי $f\left(\alpha \right )=0\cdot g\left(\alpha \right )+r$. אבל $f\left(\alpha\right)=0$, ולכן $0=0+r$, ומכאן $r=0$. | נציב בשוויון הפולינומים $f=\left(x-\alpha \right )g+r$ את האיבר $x=\alpha$; אזי $f\left(\alpha \right )=0\cdot g\left(\alpha \right )+r$. אבל $f\left(\alpha\right)=0$, ולכן $0=0+r$, ומכאן $r=0$. | ||
נקבל $f=\left(x-\alpha\right)g$. | נקבל $f=\left(x-\alpha\right)g$. |
גרסה מ־12:58, 17 באוגוסט 2014
המשפט הבא מאוד אינטואיטיבי, ואכן הוכחתו גם כן איננה מאתגרת במיוחד.
\textbf{משפט:}
יהי $f\in\mathbb{F}\left[x\right]$, ויהי $\alpha\in\mathbb{F}$ שורש של $f$ (זאת אומרת, $f\left(\alpha\right)=0$). אזי קיים פולינום $g\in\mathbb{F}\left[x\right]$ שעבורו $f=\left(x-\alpha\right)g$.
\textit{הוכחה:}
נשתמש בחילוק עם שארית לזוג הפולינומים $f$ ו-$x-\alpha$. אזי קיימים פולינומים $g\left(x \right ),r\left(x \right )\in\mathbb{F}\left[x \right ]$ שעבורם $f=\left(x-\alpha \right )g+r$, כאשר מתקיים $r\equiv0$ )כלומר, מקבל ערך אפס תמיד( או $\deg\left(r\right)<\deg\left(x-\alpha\right)$. קל לראות כי התנאים האלו אומרים, למעשה, כי $r$ הוא סקלר כלשהו מ-$\mathbb{F}$. נציב בשוויון הפולינומים $f=\left(x-\alpha \right )g+r$ את האיבר $x=\alpha$; אזי $f\left(\alpha \right )=0\cdot g\left(\alpha \right )+r$. אבל $f\left(\alpha\right)=0$, ולכן $0=0+r$, ומכאן $r=0$.
נקבל $f=\left(x-\alpha\right)g$.