הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:חלוקת פולינומים עם שארית"
שורה 21: | שורה 21: | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item בתנאי השני, הסיבה למקרה | + | \item בתנאי השני, הסיבה למקרה v $r\left ( x \right )=0$ היא ש-$\deg\left(0\right)$ אינו מוגדר. |
− | \item אם $\deg\left ( f \right )<\deg\left ( g \right )$, | + | \item אם $\deg\left ( f \right )<\deg\left ( g \right )$, אז החלוקה הינה $f\left ( x \right )=0\cdot g\left ( x \right )+f\left ( x \right )$. |
− | \item השוויון בתנאי הראשון הוא שוויון פולינומים | + | \item השוויון בתנאי הראשון הוא שוויון פולינומים (ולא רק של קבוצות הערכים שלהם). בדוגמה הבאה נראה דוגמה לשני פולינומים שונים, המקבלים אותה קבוצת ערכים. |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
שורה 41: | שורה 41: | ||
נדגים את חלוקת הפולינומים $f\left ( x \right )=x^3-2$ ב-$g\left ( x \right )=x-2$. | נדגים את חלוקת הפולינומים $f\left ( x \right )=x^3-2$ ב-$g\left ( x \right )=x-2$. | ||
− | $\quad\quad x^2+2x+4\\ | + | $\quad\quad\quad x^2+2x+4\\ |
\overline{x^3\quad\quad\quad\quad\quad-2}|x-2\\ | \overline{x^3\quad\quad\quad\quad\quad-2}|x-2\\ | ||
\underline{x^3-2x^2}\\ | \underline{x^3-2x^2}\\ | ||
שורה 49: | שורה 49: | ||
\hphantom\quad\quad\quad\quad\quad\underline{4x-8}\\ | \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad\underline{4x-8}\\ | ||
\hphantom\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;6\\$ | \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;6\\$ | ||
+ | |||
+ | לסיכום, מתקיים $x^3-2=\left(x^2+2x+4\right)\left(x-2\right)+6$. | ||
\end{example} | \end{example} |
גרסה מ־12:57, 2 בספטמבר 2014
נתחיל ממשפט, המוכר מהלימודים כבר בתיכון. אנו יודעים כי אם יש לנו שני פולינומים, אפשר לחלק אחד בשני, ולקבל מנה ושארית. המשפט הבא מנסח את הטענה באופן כללי:
\begin{thm}
יהיו $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )\in\mathbb{F}\left [ x \right ]$ פולינומים, $\deg\left ( f \right )\ge1$, $\deg\left ( g \right )\ge1$ )כזכור, $\deg$ = הדרגה של הפולינום(. אזי קיימים פולינומים $q\left ( x \right )$ )המנה( ו-$r\left ( x \right )$ )השארית( שעבורם:
\begin{enumerate}
\item $f\left ( x \right )=q\left ( x \right )g\left ( x \right )+r\left ( x \right )$.
\item $r\left ( x \right )=0$ או $\deg\left ( r \right )<\deg\left ( g \right )$.
\end{enumerate}
\end{thm}
לא נוכיח את המשפט בקורס זה.
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item בתנאי השני, הסיבה למקרה v $r\left ( x \right )=0$ היא ש-$\deg\left(0\right)$ אינו מוגדר.
\item אם $\deg\left ( f \right )<\deg\left ( g \right )$, אז החלוקה הינה $f\left ( x \right )=0\cdot g\left ( x \right )+f\left ( x \right )$.
\item השוויון בתנאי הראשון הוא שוויון פולינומים (ולא רק של קבוצות הערכים שלהם). בדוגמה הבאה נראה דוגמה לשני פולינומים שונים, המקבלים אותה קבוצת ערכים.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{example}
נדגים שני פולינומים שונים עם אותן קבוצות ערכים, זאת אומרת $f\neq g$, אבל לכל $x\in\mathbb{F}$ מתקיים $f\left(x\right)=g\left(x\right)$. עבור השדה $\mathbb{F}=\mathbb{Z}_2$, הפולינומים $f\left(x\right)=x$ ו-$g\left(x\right)=x^2$ מקיימים את הדרישות האלו.
\end{example}
\begin{example}
נדגים את חלוקת הפולינומים $f\left ( x \right )=x^3-2$ ב-$g\left ( x \right )=x-2$.
$\quad\quad\quad x^2+2x+4\\ \overline{x^3\quad\quad\quad\quad\quad-2}|x-2\\ \underline{x^3-2x^2}\\ \hphantom\quad\quad\,2x^2\\ \hphantom\quad\quad\,\underline{2x^2+4x}\\ \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad4x-2\\ \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad\underline{4x-8}\\ \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;6\\$
לסיכום, מתקיים $x^3-2=\left(x^2+2x+4\right)\left(x-2\right)+6$.
\end{example}