הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:סכום ישר של חיתוכים"
(יצירת דף עם התוכן "\textbf{למה:} אם $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$, ולכל $i=1,\dots,k$ נתונים תתי-מרחבים $V_i,W_i\subseteq U_i$, אזי: $\left(V_1\oplus\c...") |
|||
| שורה 3: | שורה 3: | ||
אם $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$, ולכל $i=1,\dots,k$ נתונים תתי-מרחבים $V_i,W_i\subseteq U_i$, אזי: | אם $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$, ולכל $i=1,\dots,k$ נתונים תתי-מרחבים $V_i,W_i\subseteq U_i$, אזי: | ||
| − | $\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )=\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$ | + | $\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )=\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$ |
\textit{הוכחה:} | \textit{הוכחה:} | ||
| שורה 13: | שורה 13: | ||
$\boxed{\subseteq}$ | $\boxed{\subseteq}$ | ||
| − | יהי $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$. | + | יהי $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$. |
לכן $z=v_1+\cdots+v_k$ וכן $z=w_1+\cdots+w_k$. | לכן $z=v_1+\cdots+v_k$ וכן $z=w_1+\cdots+w_k$. | ||
קיבלנו שמתקיים $\underbrace{v_1}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{v_k}_\in{U_k}= | קיבלנו שמתקיים $\underbrace{v_1}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{v_k}_\in{U_k}= | ||
| שורה 30: | שורה 30: | ||
מצד שני, $u_i\in W_i$ לכל $i$, ולכן $z\in W_1\oplus\cdots\oplus W_k$. | מצד שני, $u_i\in W_i$ לכל $i$, ולכן $z\in W_1\oplus\cdots\oplus W_k$. | ||
| − | בסך הכל, $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$. | + | בסך הכל, $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$. |
גרסה מ־17:56, 19 באוגוסט 2014
\textbf{למה:}
אם $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$, ולכל $i=1,\dots,k$ נתונים תתי-מרחבים $V_i,W_i\subseteq U_i$, אזי:
$\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )=\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$
\textit{הוכחה:}
הביטוי בצד שמאל חוקי; הסכומים ישרים, כי $V_i$ ו-$W_i$ הם חלקים של $U_i$, ולכן כל החיתוכים הנדרשים הם אפסים. אותו נימוק עובד לביטוי בצד ימין, והסכום הוא גם ישר.
נוכיח את השוויון הדרוש באמצעות הכלה דו-כיוונית.
$\boxed{\subseteq}$
יהי $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$. לכן $z=v_1+\cdots+v_k$ וכן $z=w_1+\cdots+w_k$. קיבלנו שמתקיים $\underbrace{v_1}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{v_k}_\in{U_k}= \underbrace{w_1}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{w_k}_\in{U_k}$
לפי יחידות ההצגה, $v_i=w_i\in V_i\cap W_i$ לכל $i=1,\dots,k$; לכן, $z\in\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$
$\boxed{\supseteq}$
יהי $z\in\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$, לכן
$z=u_1+\cdots+u_k$
מצד אחד, $u_i\in V_i$ לכל $i$, ולכן $z\in V_1\oplus\cdots\oplus V_k$. מצד שני, $u_i\in W_i$ לכל $i$, ולכן $z\in W_1\oplus\cdots\oplus W_k$.
בסך הכל, $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$.
