הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:סכום ישר של חיתוכים"
שורה 15: | שורה 15: | ||
יהי $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$. | יהי $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$. | ||
לכן $z=v_1+\cdots+v_k$ וכן $z=w_1+\cdots+w_k$. | לכן $z=v_1+\cdots+v_k$ וכן $z=w_1+\cdots+w_k$. | ||
− | קיבלנו שמתקיים $\underbrace{v_1}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{v_k}_{\in | + | קיבלנו שמתקיים $\underbrace{v_1}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{v_k}_{\in U_k}= |
− | \underbrace{w_1}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{w_k}_{\in | + | \underbrace{w_1}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{w_k}_{\in U_k}$ |
לפי יחידות ההצגה, $v_i=w_i\in V_i\cap W_i$ לכל $i=1,\dots,k$; לכן, | לפי יחידות ההצגה, $v_i=w_i\in V_i\cap W_i$ לכל $i=1,\dots,k$; לכן, |
גרסה מ־18:04, 19 באוגוסט 2014
\textbf{למה:}
אם $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$, ולכל $i=1,\dots,k$ נתונים תתי-מרחבים $V_i,W_i\subseteq U_i$, אזי:
$\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )=\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$
\textit{הוכחה:}
הביטוי בצד שמאל חוקי; הסכומים ישרים, כי $V_i$ ו-$W_i$ הם חלקים של $U_i$, ולכן כל החיתוכים הנדרשים הם אפסים. אותו נימוק עובד לביטוי בצד ימין, והסכום הוא גם ישר.
נוכיח את השוויון הדרוש באמצעות הכלה דו-כיוונית.
$\boxed{\subseteq}$
יהי $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$. לכן $z=v_1+\cdots+v_k$ וכן $z=w_1+\cdots+w_k$. קיבלנו שמתקיים $\underbrace{v_1}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{v_k}_{\in U_k}= \underbrace{w_1}_{\in U_1}+\cdots+\underbrace{w_k}_{\in U_k}$
לפי יחידות ההצגה, $v_i=w_i\in V_i\cap W_i$ לכל $i=1,\dots,k$; לכן, $z\in\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$
$\boxed{\supseteq}$
יהי $z\in\left(V_1\cap W_1 \right )\oplus\cdots\oplus\left(V_k\cap W_k \right )$, לכן
$z=u_1+\cdots+u_k$
מצד אחד, $u_i\in V_i$ לכל $i$, ולכן $z\in V_1\oplus\cdots\oplus V_k$. מצד שני, $u_i\in W_i$ לכל $i$, ולכן $z\in W_1\oplus\cdots\oplus W_k$.
בסך הכל, $z\in\left(V_1\oplus\cdots\oplus V_k\right)\cap\left(W_1\oplus\cdots\oplus W_k \right )$.