הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1 - פתרון"
מתוך Math-Wiki
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף א) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 2 (40 נק)) |
||
שורה 33: | שורה 33: | ||
אבל <math>\min\{\sup(A),\sup(B)\}=2</math> | אבל <math>\min\{\sup(A),\sup(B)\}=2</math> | ||
− | 2) נכון. | + | 2) נכון. |
+ | |||
+ | בלי הגבלת כלליות נניח ש <math>\sup(B)\leq\sup(A)</math> ולכן <math>\max\{\sup(A),\sup(B)\}=\sup(A)</math> | ||
+ | |||
+ | נסמן <math>\sup(A)=S</math>. | ||
+ | |||
+ | נוכיח ש <math>S</math> מקיים את התכונות של<math>\sup(A\cup B)</math> | ||
+ | |||
+ | א) חסם מלעיל: יהי <math>x\in A\cup B</math>. אם <math>x\in A</math> אז בוודאי | ||
+ | |||
+ | <math>x\leq \sup(A) = S</math> | ||
+ | |||
+ | ואם <math>x\in B</math> אז | ||
+ | |||
+ | <math>x\leq \sup(B) \leq \sup(A)=S</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן <math>S</math> אכן חסם מלעיל של <math>A\cup B</math> | ||
===סעיף ב=== | ===סעיף ב=== |
גרסה מ־08:45, 24 בדצמבר 2014
תוכן עניינים
שאלה 1 (30 נק)
סעיף א
תהיינה שתי סדרות כך ש:
- 1.
- 2.
הוכיחו/הפריכו:
סעיף ב
תהי סדרה וקבוע כך ש
הוכיחו כי מתכנסת.
(רמז: יש בשאלה הזו קושי)
שאלה 2 (40 נק)
סעיף א
לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.
- 1. הוכיחו/הפריכו:
- 2. הוכיחו/הפריכו:
פתרון:
1) לא נכון. ניקח ו
אז
אבל
2) נכון.
בלי הגבלת כלליות נניח ש ולכן
נסמן .
נוכיח ש מקיים את התכונות של
א) חסם מלעיל: יהי . אם אז בוודאי
ואם אז
ולכן אכן חסם מלעיל של
סעיף ב
נניח .
- הוכיחו/הפריכו:
פתרון: הטענה נכונה.
תהי תת סדרה של כך ש
(הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון)
היות ש ,
אז כמובן ש
(כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר).
ולכן
כלומר הוא גם גבול חלקי של ולכן
(כי הוא הגבול החלקי הגדול ביותר)
בדרך דומה מוכיחים
ולכן
כנדרש
שאלה 3 (30 נק)
סעיף א
תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
סעיף ב
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים