הבדלים בין גרסאות בדף "חקירת פונקציות"
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 15: | שורה 15: | ||
[[מדיה : infi2FuncInvestigationAddional1.pdf | הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות]] | [[מדיה : infi2FuncInvestigationAddional1.pdf | הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות]] | ||
− | == תרגילים == | + | ==תרגילים== |
− | ===דוגמא | + | ===דוגמא 1: <math>f(x)=x^2-6x+5</math>=== |
− | תחום הגדרה | + | ====תחום הגדרה==== |
− | + | הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה. תחום הגדרתה היא <math>A</math> - אוסף כל הנקודות בהם <math>f(x)</math> מוגדרת. | |
− | הגדרה: | + | |
דוגמא: תחום ההגדרה של <math>f(x)</math> הוא כל הישר <math>\R</math> . | דוגמא: תחום ההגדרה של <math>f(x)</math> הוא כל הישר <math>\R</math> . | ||
שורה 36: | שורה 35: | ||
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה==== | ====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה==== | ||
− | הגדרה: תהא <math>f(x)</math> פונקציה. נאמר | + | הגדרה: תהא <math>f(x)</math> פונקציה. נאמר כי <math>f(x)</math> עולה (יורדת) בתחום <math>U</math> אם |
<math>\forall x<y\in U:\ f(x)\le f(y)</math> או <math>\forall x<y\in U:\ f(x)\ge f(y)</math> . | <math>\forall x<y\in U:\ f(x)\le f(y)</math> או <math>\forall x<y\in U:\ f(x)\ge f(y)</math> . | ||
− | הגדרה: | + | הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה. <math>x_0</math> תקרא נקודת קיצון - מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה <math>U</math> כך ש- |
<math>\forall x\in U:f(x)\le f(x_0)</math> או <math>\forall x\in U:f(x)\ge f(x_0)</math> . | <math>\forall x\in U:f(x)\le f(x_0)</math> או <math>\forall x\in U:f(x)\ge f(x_0)</math> . | ||
שורה 48: | שורה 47: | ||
מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של <math>f(x)</math> מספיק לבדוק מתי <math>f'(x)=0</math> או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל. | מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של <math>f(x)</math> מספיק לבדוק מתי <math>f'(x)=0</math> או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל. | ||
− | דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל- <math>f(x)</math>: | + | דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל- <math>f(x)</math> : |
<math>f'(x)=2x-6</math> ולכן הנקודה החשודה היחידה היא <math>x_0=3</math> . | <math>f'(x)=2x-6</math> ולכן הנקודה החשודה היחידה היא <math>x_0=3</math> . | ||
שורה 59: | שורה 58: | ||
הערה: אכן מספיק לבדוק נקודות אלו - כי אם הפונקציה היתה מחליפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם. | הערה: אכן מספיק לבדוק נקודות אלו - כי אם הפונקציה היתה מחליפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם. | ||
− | *בדיקת ערכי הנגזרת - נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם <math>f'(x)\ | + | *בדיקת ערכי הנגזרת - נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם <math>f'(x)\le0</math> בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\ge0</math> אז הפונקציה עולה שם): <math>f'(0)<0\ ,\ f'(4)>0</math> ולכן משמאל ל-3 הפונקציה יורדת ומימין ל-3 היא עולה, כלומר <math>x=3</math> נקודת מיני'. |
הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של <math>f</math> הוא <math>[3,\infty)</math> ותחום הירידה <math>(-\infty,3]</math> . | הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של <math>f</math> הוא <math>[3,\infty)</math> ותחום הירידה <math>(-\infty,3]</math> . | ||
שורה 74: | שורה 73: | ||
<math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> . | <math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> . | ||
− | נאמר | + | נאמר כי <math>x_0</math> נקודת פיתול אם קיימת סביבה <math>U</math> ימנית בה <math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> וסביבה שמאלית <math>V</math> בה <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או להפך. |
משפט: <math>f''(x_0)>0</math> או <math>f''(x_0)<0</math> אז <math>f(x)</math> קעורה כלפי מעלה/מטה ב- <math>x_0</math> . | משפט: <math>f''(x_0)>0</math> או <math>f''(x_0)<0</math> אז <math>f(x)</math> קעורה כלפי מעלה/מטה ב- <math>x_0</math> . | ||
שורה 87: | שורה 86: | ||
הגדרה: אסימפטוטה אופקית היא ישר <math>l(x)=ax+b</math> המקיים <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0</math> או <math>\lim\limits_{x\to-\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0</math> . | הגדרה: אסימפטוטה אופקית היא ישר <math>l(x)=ax+b</math> המקיים <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0</math> או <math>\lim\limits_{x\to-\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0</math> . | ||
− | איך מוצאים? מתקיים <math>a=\lim\limits_{x\to\infty}\ | + | איך מוצאים? מתקיים <math>a=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}</math> ואז <math>b=\lim\limits_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]</math> . |
דוגמא - אצלנו: | דוגמא - אצלנו: | ||
− | <math>a=\ | + | <math>\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-6x+5}{x}=\infty</math> |
ולכן אין אסימפטוטה אופקית. | ולכן אין אסימפטוטה אופקית. | ||
שורה 100: | שורה 99: | ||
ציור הפונקציה [[קובץ:Example1CStirgul2.gif]] | ציור הפונקציה [[קובץ:Example1CStirgul2.gif]] | ||
− | ===דוגמא 2: <math>f(x)=\ | + | ===דוגמא 2: <math>f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}</math>=== |
====תחום הגדרה==== | ====תחום הגדרה==== | ||
<math>x>0</math> כי <math>\ln(x)</math> לא-מוגדרת עבור <math>x</math>-ים שליליים. | <math>x>0</math> כי <math>\ln(x)</math> לא-מוגדרת עבור <math>x</math>-ים שליליים. | ||
שורה 113: | שורה 112: | ||
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה==== | ====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה==== | ||
− | <math>f'(x)=\ | + | <math>f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}</math> לכן יש לה נקודה חשודה ב- <math>x=e</math> |
− | הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x-2x\ | + | הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x-2x\big(1-\ln(x)\big)=-x\big(3-2\ln(x)\big)</math> . |
<math>f(e)<0</math> ולכן זוהי נקודת מקס'. | <math>f(e)<0</math> ולכן זוהי נקודת מקס'. | ||
שורה 124: | שורה 123: | ||
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול==== | ====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול==== | ||
− | הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x\ | + | הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x\big(3-2\ln(x)\big)</math> ולכן נקודות חשודות לפיתול הם <math>e\sqrt{e}</math> . |
<math>f''(e)<0\ ,\ f''(e^4)>0</math> ולכן <math>e\sqrt{e}\approx 10</math> נקודת פיתול. | <math>f''(e)<0\ ,\ f''(e^4)>0</math> ולכן <math>e\sqrt{e}\approx 10</math> נקודת פיתול. | ||
שורה 133: | שורה 132: | ||
====אסימפטוטות==== | ====אסימפטוטות==== | ||
− | אסימפטוטה אנכית ב- <math>x=0</math> כיון ש- <math>\lim\limits_{x\ | + | אסימפטוטה אנכית ב- <math>x=0</math> כיון ש- <math>\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty</math> . |
− | אסימפטוטה אופקית: | + | אסימפטוטה אופקית: |
− | <math> | + | <math>\begin{align}\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1x}{2x}=0\\b=\lim_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]=\lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0\end{align}</math> |
ולכן <math>l(x)=0</math> אסימטוטה אופקית. | ולכן <math>l(x)=0</math> אסימטוטה אופקית. | ||
שורה 146: | שורה 145: | ||
ציור הפונקציה [[קובץ:Example2CStirgul2.gif]] | ציור הפונקציה [[קובץ:Example2CStirgul2.gif]] | ||
− | ===דוגמא 3: <math>f(x)=\ | + | ===דוגמא 3: <math>f(x)=\dfrac{x^3}{12-x^2}</math>=== |
====תחום הגדרה==== | ====תחום הגדרה==== | ||
− | + | <math>x\ne\pm2\sqrt3</math> | |
====זוגיות/אי-זוגיות==== | ====זוגיות/אי-זוגיות==== | ||
− | <math>f(-x)=\ | + | <math>f(-x)=\dfrac{-x^3}{12-x^2}=-f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math> אי-זוגית. |
===נקודות קיצון=== | ===נקודות קיצון=== | ||
− | <math>f'(x)=\ | + | <math>f'(x)=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^{2}}</math> ולכן הנקודות החשודות הן <math>x_0=0,\pm6,\pm2\sqrt3</math> |
(נשים לב שהנקודות <math>\pm2\sqrt3</math> אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה). | (נשים לב שהנקודות <math>\pm2\sqrt3</math> אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה). | ||
שורה 161: | שורה 160: | ||
נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של <math>36-x^2</math> : | נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של <math>36-x^2</math> : | ||
− | <math>f'(-7)<0</math> | + | <math>\begin{align}f'(-7)<0\\f'(-6)=0\\f'(-4)>0\\f'(-1)>0\\f'(0)=0\\f'(4)>0\\f'(6)=0\\f'(7)<0\end{align}</math> |
− | + | ולכן משמאל ל-'''6-''' הפונקציה יורדת ומימין ל-'''6-''' היא עולה, כלומר '''6-''' נקודות מיני'. | |
− | + | 6 נקודת מקס'. | |
− | + | 0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל. | |
− | + | ====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול==== | |
+ | דוגמא: | ||
− | <math> | + | <math>\begin{align}f(x)&=\dfrac{x^3}{12-x^2}\\f'(x)&=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^2}\\f''(x)&=\dfrac{24x(12-x^2)(36+x^2)}{(12-x^2)^4}\end{align}</math> |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
הנקודות החשודות לפיתול הן <math>0,\pm2\sqrt3</math> . הסימן של <math>f''(x)</math> נקבע לפי החלק <math>x(12-x^2)</math> . | הנקודות החשודות לפיתול הן <math>0,\pm2\sqrt3</math> . הסימן של <math>f''(x)</math> נקבע לפי החלק <math>x(12-x^2)</math> . | ||
− | נבדוק: | + | נבדוק: |
− | + | ||
− | <math>f''(-1)<0 | + | <math>\begin{align}f''(-4)>0\\f''(-1)<0\\f(0)=0\\f(1)>0\\f(4)<0\end{align}</math> |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
ומכאן מסיקים כי - | ומכאן מסיקים כי - | ||
שורה 209: | שורה 189: | ||
בקטע <math>(2\sqrt3,\infty)</math> הפונקציה קעורה כלפי מטה, | בקטע <math>(2\sqrt3,\infty)</math> הפונקציה קעורה כלפי מטה, | ||
− | ובנקודה | + | ובנקודה 0 יש נקודות פיתול (כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה). |
====אסימפטוטות==== | ====אסימפטוטות==== | ||
שורה 220: | שורה 200: | ||
אסימפטוטה אופקית: | אסימפטוטה אופקית: | ||
− | <math>a=\ | + | <math>\displaystyle\begin{align}a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x(12-x^2)}=-1\\b=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^3}{12-x^2}+x\right]=\lim_{x\to\infty}\frac{12x}{12-x^2}=0\end{align}</math> |
− | + | ||
− | + | ||
באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון <math>x\to-\infty</math> תצא אותו דבר | באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון <math>x\to-\infty</math> תצא אותו דבר | ||
שורה 229: | שורה 207: | ||
====התנהגות הפונקציה באינסוף==== | ====התנהגות הפונקציה באינסוף==== | ||
− | עבור הדוגמא שלנו <math>\ | + | עבור הדוגמא שלנו <math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=\infty\ ,\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=-\infty</math> |
====ציור הפונקציה==== | ====ציור הפונקציה==== | ||
שורה 236: | שורה 214: | ||
משפטים לסיכום: | משפטים לסיכום: | ||
− | + | '''1)''' אם <math>f(x)</math> גזירה בנקודת קיצון <math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=0</math> . | |
− | + | '''2)''' מבחן הנגזרת השניה - אם <math>f'(x_0)=0</math> ומתקיים <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>x_0</math> נקודת מיני'. | |
− | + | '''3)''' אם <math>f'(x)\le0</math> בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\ge0</math> אזי הפונקציה עולה שם. | |
− | + | '''4)''' אם <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>f(x)</math> קעורה כלפי מעלה ב- <math>x_0</math> . | |
מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f''(x)</math> אינה קיימת או ש- <math>f''(x)=0</math> . | מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f''(x)</math> אינה קיימת או ש- <math>f''(x)=0</math> . |
גרסה אחרונה מ־01:10, 13 בפברואר 2017
נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):
- תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
- זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
- תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
- תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
- אסימפטוטות מאונכות
- נקודות חיתוך עם הצירים
- אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
- תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה
הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות
תוכן עניינים
תרגילים
דוגמא 1:
תחום הגדרה
הגדרה: תהי פונקציה. תחום הגדרתה היא - אוסף כל הנקודות בהם מוגדרת.
דוגמא: תחום ההגדרה של הוא כל הישר .
זוגיות/אי-זוגיות
הגדרה: תקרא זוגית אם .
הגדרה: תקרא אי-זוגית אם .
דוגמא: ולכן אינה זוגית ואינה אי-זוגית.
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר הן הנקודות
החיתוך עם ציר היא הנקודה .
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
הגדרה: תהא פונקציה. נאמר כי עולה (יורדת) בתחום אם
או .
הגדרה: תהי פונקציה. תקרא נקודת קיצון - מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה כך ש-
או .
משפט: אם גזירה בנקודת קיצון אזי .
מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של מספיק לבדוק מתי או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל- :
ולכן הנקודה החשודה היחידה היא .
מקס' או מיני'
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
- בדיקת הפונקציה עצמה - הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל: למשל נציב ולכן 3 נקודות מיני'.
הערה: אכן מספיק לבדוק נקודות אלו - כי אם הפונקציה היתה מחליפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.
- בדיקת ערכי הנגזרת - נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם בקטע אזי הפונקציה יורדת שם. אם אז הפונקציה עולה שם): ולכן משמאל ל-3 הפונקציה יורדת ומימין ל-3 היא עולה, כלומר נקודת מיני'.
הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של הוא ותחום הירידה .
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה היכן שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.
- מבחן הנגזרת השניה - אם ומתקיים (או ) אז נקודות מיני' (או מקס'):
אצלנו ולכן .
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
תהא גזירה בנקודה אזי נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה/מטה ב- אם קיימת סביבה של כך שלכל מתקיים:
או .
נאמר כי נקודת פיתול אם קיימת סביבה ימנית בה וסביבה שמאלית בה או להפך.
משפט: או אז קעורה כלפי מעלה/מטה ב- .
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם אינה קיימת או ש- .
דוגמא: ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
אסימפטוטות
הגדרה: אסימפטוטה אנכית ל- היא קו מהצורה כך שמתקיים . אצלנו אין אסימפטוטה אנכית.
הגדרה: אסימפטוטה אופקית היא ישר המקיים או .
איך מוצאים? מתקיים ואז .
דוגמא - אצלנו:
ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
התנהגות הפונקציה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
דוגמא 2:
תחום הגדרה
כי לא-מוגדרת עבור -ים שליליים.
זוגיות/אי-זוגיות
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר הוא .
החיתוך עם ציר לא קיים בגלל תחום ההגדרה.
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
לכן יש לה נקודה חשודה ב-
הסימן של נקבע ע"י .
ולכן זוהי נקודת מקס'.
תחומי העליה של הפונקציה .
תחומי הירידה .
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
הסימן של נקבע ע"י ולכן נקודות חשודות לפיתול הם .
ולכן נקודת פיתול.
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב- .
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ב- .
אסימפטוטות
אסימפטוטה אנכית ב- כיון ש- .
אסימפטוטה אופקית:
ולכן אסימטוטה אופקית.
התנהגות הפונקציה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
דוגמא 3:
תחום הגדרה
זוגיות/אי-זוגיות
ולכן אי-זוגית.
נקודות קיצון
ולכן הנקודות החשודות הן
(נשים לב שהנקודות אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה).
מקס' או מיני'
נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של :
ולכן משמאל ל-6- הפונקציה יורדת ומימין ל-6- היא עולה, כלומר 6- נקודות מיני'.
6 נקודת מקס'.
0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל.
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
דוגמא:
הנקודות החשודות לפיתול הן . הסימן של נקבע לפי החלק .
נבדוק:
ומכאן מסיקים כי -
בקטע הפונקציה קעורה כלפי מעלה,
בקטע הפונקציה קעורה כלפי מטה,
בקטע הפונקציה קעורה כלפי מעלה,
בקטע הפונקציה קעורה כלפי מטה,
ובנקודה 0 יש נקודות פיתול (כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה).
אסימפטוטות
ל- יש 2 אסימפטוטות אנכיות ב-
כי
אסימפטוטה אופקית:
באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון תצא אותו דבר
ולכן אסימפטוטה אופקית לשני הצדדים.
התנהגות הפונקציה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
ציור הפונקציה
משפטים לסיכום:
1) אם גזירה בנקודת קיצון אזי .
2) מבחן הנגזרת השניה - אם ומתקיים אזי נקודת מיני'.
3) אם בקטע אזי הפונקציה יורדת שם. אם אזי הפונקציה עולה שם.
4) אם אזי קעורה כלפי מעלה ב- .
מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם אינה קיימת או ש- .