הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1"
(←תרגיל) |
|||
שורה 21: | שורה 21: | ||
לדוגמא: נסמן <math>z=5+\frac{1}{3}i,w=2+\frac{2}{3}i</math>. נקבל: <math>z+w=(5+2)+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})i=7+i</math>, וכן | לדוגמא: נסמן <math>z=5+\frac{1}{3}i,w=2+\frac{2}{3}i</math>. נקבל: <math>z+w=(5+2)+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})i=7+i</math>, וכן | ||
<math>z\cdot w=(5\cdot 2-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3})+(5\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot 2)i=9\frac{2}{9}+4i</math>. | <math>z\cdot w=(5\cdot 2-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3})+(5\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot 2)i=9\frac{2}{9}+4i</math>. | ||
+ | |||
+ | ===חלק ממשי וחלק מדומה=== | ||
+ | |||
+ | יהי <math>z=a+bi\in \mathbb{C}</math>. נגדיר את החלק הממשי שלו להיות: <math>Re(z)=a</math>, ואת החלק המדומה שלו להיות <math>Im(z)=b</math>. שימו לב שגם החלק הממשי וגם החלק המדומה הם מספרים ממשיים!!! | ||
+ | |||
+ | '''דוגמא:''' <math>Re(\sqrt{2}-\pi i)=\sqrt{2},Im(\sqrt{2}-\pi i)=-\pi</math>. | ||
+ | |||
+ | שימו לב שמספר מרוכב <math>z</math> הוא ממשי אם ורק אם <math>Im(z)=0</math>. | ||
+ | |||
+ | מספר מרוכב <math>z</math> נקרא מדומה טהור אם <math>Re(z)=0</math>. למשל <math>2i</math>. | ||
==נורמה וצמוד== | ==נורמה וצמוד== | ||
שורה 61: | שורה 71: | ||
====תרגיל==== | ====תרגיל==== | ||
− | הוכיחו | + | הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z</math> מתקיים: |
+ | |||
+ | 1. <math>z\cdot \overline{z}=|z|^2</math>. | ||
+ | |||
+ | 2. <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>. | ||
+ | |||
+ | 3. <math>z-\overline{z}=2Im(z)i</math> | ||
'''פתרון:''' נסמן <math>z=a+bi</math> ונחשב: | '''פתרון:''' נסמן <math>z=a+bi</math> ונחשב: | ||
<math>z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2=|z|^2</math>. | <math>z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2=|z|^2</math>. | ||
+ | |||
+ | <math>z+\overline{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a=2Re(z)</math>. | ||
+ | |||
+ | <math>z-\overline{z}=(a+bi)-(a-bi)2bi=2Im(z)i</math> | ||
+ | |||
+ | ==מציאת הופכי וחילוק== | ||
+ | |||
+ | עובדה: לכל מספר מרוכב שונה מאפס קיים הופכי. | ||
+ | |||
+ | ש: איך נמצא את ההופכי? | ||
+ | |||
+ | ת: כמסקנה מהתרגיל האחרון המקשר בן נורמה לצמוד נקבל: <math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>. | ||
+ | |||
+ | ====תרגיל==== | ||
+ | |||
+ | מצא את ההופכי של <math>7-4i</math>. | ||
+ | |||
+ | '''פתרון:''' לפי המסקנה נקבל: <math>(7-4i)^{-1}=\frac{7+4i}{7^2+(-4)^2}=\frac{7+4i}{65}=\frac{7}{65}+\frac{4}{64}i</math>. | ||
+ | |||
+ | ====תרגיל==== | ||
+ | |||
+ | הצג את הביטוי הבא בצורה <math>z=a+bi</math> וציין מהם <math>Re(z),Im(z),\overline{z},|z|</math>. הביטוי הינו: <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math> | ||
+ | |||
+ | '''פתרון:''' | ||
+ | נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה <math>\frac{(5+2i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי <math>\frac{5+2i}{2-3i}=(5+2i)(2-3i)^{-1}</math> וכעת רשמנו <math>(5+2i)(2+3i)[(2-3i)^{-1}(2+3i)^{-1}]</math> | ||
+ | |||
+ | לפיכך נקבל: | ||
+ | |||
+ | <math>z=\frac{4+19i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{19}{13}i</math>. | ||
+ | |||
+ | <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{4^2+19^2}{13^2}}</math>. | ||
+ | |||
+ | <math>Re(z)=\frac{4}{13},Im(z)=\frac{19}{13}</math>. | ||
+ | |||
+ | <math>\overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i</math>. |
גרסה מ־10:19, 9 באוקטובר 2018
תוכן עניינים
הגדרה
כידוע אין שורש ממשי למספר . כלומר
.
בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל : שדה המספרים המרוכבים!
אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:
1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.
2. איך לחבר ביניהם.
3. איך להכפיל ביניהם.
נסמן ב איבר מסויים, ונגדיר
. במילים אחרות
. המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה
כאשר
. כלומר,
. שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים
.
חיבור: .
כפל: .
לדוגמא: נסמן . נקבל:
, וכן
.
חלק ממשי וחלק מדומה
יהי . נגדיר את החלק הממשי שלו להיות:
, ואת החלק המדומה שלו להיות
. שימו לב שגם החלק הממשי וגם החלק המדומה הם מספרים ממשיים!!!
דוגמא: .
שימו לב שמספר מרוכב הוא ממשי אם ורק אם
.
מספר מרוכב נקרא מדומה טהור אם
. למשל
.
נורמה וצמוד
נורמה
במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה המוגדרת ע"י:
. מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו.
תכונות הנורמה
1. כפליות: .
2. אי שליליות: , ומתקיים:
.
3. אי שיוויון המשולש: .
תרגיל
הוכיחו: .
הערה: זה נקרא אש"מ ההפוך.
פתרון: נסמן . נשים לב ש
ולכן
. כעת מאי שיוויון המשולש נקבל:
. נעביר אגפים לקבל
.
בדומה, נסמן . נשים לב ש
ולכן
. כעת מאי שיוויון המשולש נקבל:
. נעביר אגפים לקבל
.
נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל .
צמוד
לכל מספר מרוכב נגדיר את הצמוד המרוכב שלו להיות
. לדוג':
.
תכונות הצמוד
1. כפליות: .
2. חיבוריות: .
3. אותה נורמה: .
תרגיל
הוכיחו שלכל מספר מרוכב מתקיים:
1. .
2. .
3.
פתרון: נסמן ונחשב:
.
.
מציאת הופכי וחילוק
עובדה: לכל מספר מרוכב שונה מאפס קיים הופכי.
ש: איך נמצא את ההופכי?
ת: כמסקנה מהתרגיל האחרון המקשר בן נורמה לצמוד נקבל: .
תרגיל
מצא את ההופכי של .
פתרון: לפי המסקנה נקבל: .
תרגיל
הצג את הביטוי הבא בצורה וציין מהם
. הביטוי הינו:
פתרון:
נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה .
נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי וכעת רשמנו
לפיכך נקבל:
.
.
.
.