הבדלים בין גרסאות בדף "88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 5"
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←תרגיל ממבחן (קצת משודרג)) |
(←תרגיל) |
||
שורה 44: | שורה 44: | ||
'''הערה''' הטענה נכונה אם <math>f</math> חח"ע. הוכיחו! | '''הערה''' הטענה נכונה אם <math>f</math> חח"ע. הוכיחו! | ||
− | ===תרגיל=== | + | ===תרגיל (בהרצאה בד"כ)=== |
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}(f(A))</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע | תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}(f(A))</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע | ||
שורה 56: | שורה 56: | ||
דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math> | דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math> | ||
− | |||
===תרגיל=== | ===תרגיל=== |
גרסה מ־07:53, 31 ביולי 2019
תוכן עניינים
המשך פונקציות - פונקציות על תת-קבוצות
תמונות חלקיות
הגדרה. תהי פונקציה, ויהיו תת קבוצות
. אזי התמונה החלקית של A תחת f היא התת-קבוצה
, והתמונה החלקית ההפוכה של B תחת f היא התת-קבוצה
.
שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה לבין הפונקציה ההופכית
. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא איבר של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו
) או שנמצאת תת-קבוצה של התמונה (בדוגמאות לעיל זו
).
דוגמאות
תהא פונקצית דריכלה. אזי
תהא פונקצית . אזי
תהא פונקצית הערך השלם התחתון. אזי
תכונות
- אם
אזי
- אם
אזי
- הוכיחו/הפריכו טענות מקבילות עם משלים של קבוצות.
תרגיל
הוכיחו/הפריכו: תהי f פונקציה ותהיינה
. אזי
פתרון: תחשבו
תרגיל
הוכח/הפרך: תהיינה ותהי f פונקציה
. אזי
פתרון.
נפריך על ידי דוגמא נגדית. נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים כך ש
. ניקח
אזי:
הערה תמיד מתקיים
הערה הטענה נכונה אם חח"ע. הוכיחו!
תרגיל (בהרצאה בד"כ)
תהי ותהי
. הוכח
. וקיים שיוויון אם
חח"ע
פתרון.
יהא אזי
ולכן
.
נראה את ההכלה בכיוון השני אם חח"ע:
יהא לכן
לכן
. כיוון ש
חח"ע נובע כי
דוגמא שלא מתקיים שיוויון (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר
ומתקיים
תרגיל
תהי ותהי
. הוכח
. וקיים שיוויון אם
על
פתרון.
יהא כאשר
ולכן
.
נראה את ההכלה בכיוון השני אם על:
יהא כיוון ש f על
לכן
. ואז
דוגמא שלא מתקיים שיוויון המוגדרת
. אזי נגדיר
ומתקיים
.
תרגיל ממבחן (קצת משודרג)
יהיו שתי קבוצות, ותהי
פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה
על ידי
.
בדוק את הקשר בין החח"ע/על של f לבין אלה של g. (כלומר, מה גורר את מה בהכרח).
פתרון.
1. נמצא ב XI הטענה f על אמ"מ g חח"ע
בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על)
בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי לכן
בסתירה לחח"ע של g.
2. f חח"ע אמ"מ g על
בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה
)
בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים שונים כך ש
. נביט בנקודון
כיוון ש g על קיימת כך ש
לכן
ולכן
לכן כלומר
. סתירה.
מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות:
- ייתכן ו-f חח"ע אך g אינה כזו (ניקח f חח"ע שאינה על אזי g אינה חח"ע לפי 1)
- יתכן ו-g חח"ע אך f אינה כזו. (ניקח g חח"ע שאינה על אזי f אינה חח"ע לפי 2)
- ייתכן ו-f על אך g אינה כזו (ניקח f על שאינה חח"ע אזי g אינה על לפי 2)
- ייתכן ו-g על אך f אינה כזו (ניקח g על שאינה חח"ע אזי f אינה על לפי 1)
אתם מוזמנים לתת דוגמאות למסקנות לעיל
למשל:
יהיו . אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן
ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.
תרגיל
תהא פונקציה בין קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי
- אם f חח"ע אזי קיימת
על.
- במידה ו A,B סופיות: f חח"ע אמ"מ
- במידה ו A,B סופיות: f על אמ"מ
פונקציות המכבדות יחס שקילות
הגדרה. תהי , ויהי R יחס שקילויות על A. אומרים כי f מוגדרת היטב על
אם
כלומר אם a שקול ל b אזי .
למה זה טוב?
כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה ע"י
באופן מפורש .
טענה: g אכן פונקציה
הוכחה:
1. g שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.
2. g חד ערכית- נניח , צ"ל
. מהנתון ש
נובע ש
, ולכן, לפי הגדרת f כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים
, ולפי הגדרת g מתקיים
.
דוגמא
נגדיר על השלמים יחס שקילות ע"י x~y אמ"מ y=x or y=-x.
בדקו מי מהבאות היא פונקציה מקבוצת המנה לשלמים:
דוגמא
האם f על הרציונאליים המוגדרת על ידי מוגדרת היטב?
פתרון
לא! כזכור הרציונאליים הם קבוצת מנה של . לפי היחס שהגדרנו מתקיים
אבל לא מתקיים
במילים: לא ברור לאן f שולחת את השבר שליש!
הערה: בכוונה ניסחנו את התרגיל באופן הרומז על יחס השקילויות מבלי לומר אותו במפורש. זו הדרך בה נתקל במושג 'מוגדר היטב' במהלך התואר - יחס השקילויות יהיה מרומז בלבד.
פונקציה מצומצמת
הגדרה.
תהי ותהי
. הפונקציה f מצומצמת לA מוגדרת על ידי:
כך ש-
.
דוגמא.
נביט ב- המוגדרת על ידי
ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת
כן חח"ע.
תרגיל.
תהי פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש-
חח"ע עם אותה התמונה כמו הפונקציה המקורית (כלומר
).
פתרון.
נגדיר לכל את הקבוצה של המקורות שלו
כעת נבחר מכל
איבר יחיד
. נגדיר
. כיוון שבחרנו מקור לכל תמונה, ובחרנו מקור אחד אזי
חח"ע עם אותו טווח של
.
אזהרה! ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)
תרגיל
תהיינה פונקציות כך ש
חח"ע. הוכיחו כי
חח"ע.
הוכחה: אם מצמצם את הטווח והתחום של הפונקציות, , נקבל כי
חח"ע ובנוסף
חח"ע ועל. מכאן ש
חח"ע כהרכבה של חח"ע.