הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11"
(תיקון פונקצית דיריכלה) |
|||
שורה 16: | שורה 16: | ||
<math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}} | <math>\frac13\le A\le\frac13</math>, לכן <math>A=\frac13</math>. {{משל}} | ||
− | + | ---- | |
− | + | ||
'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>. | '''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>. | ||
שורה 29: | שורה 28: | ||
נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. לפי תוצאה ממשפט לגרנג' <math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}} | נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> ולכן <math>\forall x\in I:\ H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math>. לפי תוצאה ממשפט לגרנג' <math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>. {{משל}} | ||
+ | ---- | ||
− | + | '''הגדרה:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f</math> את השטח שמתחת לגרף. | |
− | + | ||
− | '''הגדרה:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נסמן ב-<math>\int\limits_a^b f | + | |
==המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי {{הערה|(בצורה אינטואיטיבית)}}== | ==המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי {{הערה|(בצורה אינטואיטיבית)}}== | ||
תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>. | תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>. | ||
− | # לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f | + | # לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> אזי <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)=A'(x)</math>. |
− | # אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^ | + | # אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f=F(b)-F(a)</math>. |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
<ol> | <ol> | ||
− | <li>גרף (3). רואים ש-<math>A(a)=0</math> וננסה להוכיח ש-<math>A(b)=\int\limits_a^ | + | <li>גרף (3). רואים ש-<math>A(a)=0</math> וננסה להוכיח ש-<math>A(b)=\int\limits_a^b f</math>. |
יהי x נתון. כעת לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>. בציור: <math>A(x+\Delta x)-A(x)</math> = שטח הארובה, <math>\Delta x</math> = בסיס הארובה, לכן <math>\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> = הגובה הממוצע של הארובה. | יהי x נתון. כעת לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>. בציור: <math>A(x+\Delta x)-A(x)</math> = שטח הארובה, <math>\Delta x</math> = בסיס הארובה, לכן <math>\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> = הגובה הממוצע של הארובה. | ||
שורה 47: | שורה 45: | ||
לכן <math>A'(x)</math> = הגובה הממוצע כאשר <math>\Delta x\to0</math> =<math>f(x)</math>. {{משל}} | לכן <math>A'(x)</math> = הגובה הממוצע כאשר <math>\Delta x\to0</math> =<math>f(x)</math>. {{משל}} | ||
</li> | </li> | ||
− | <li>נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math>. מחלק 1 ידוע גם ש-<math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math>. לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^ | + | <li>נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math>. מחלק 1 ידוע גם ש-<math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math>. לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-(\underbrace{A(a)}_{=0}+c)=A(b)=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}} |
</li> | </li> | ||
</ol> | </ol> | ||
שורה 92: | שורה 90: | ||
נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים <math>\overline S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f). | נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים <math>\overline S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f). | ||
− | לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int}_a^b f | + | לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline{\int}_a^b f:=\inf_P \overline S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int_a^b f:=\sup_P \underline S(f,P)</math>. |
==הגדרת האינטגרל לפי דרבו== | ==הגדרת האינטגרל לפי דרבו== | ||
− | תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f | + | תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int_a^b f=\overline{\int}_a^b f</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline{\int} f</math>. |
===דוגמה=== | ===דוגמה=== | ||
− | בקטע <math>[a,b]</math> כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>D(x)=\begin{cases} | + | בקטע <math>[a,b]</math> כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>D(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>. |
נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. | נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. | ||
לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>. | לכל k מתקיים <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>. לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 1\Delta x_k=b-a</math> ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1}^n 0\Delta x_k=0</math>. | ||
− | מכאן <math>\underline\int_a^b f | + | מכאן <math>\underline\int_a^b f=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline{\int}_a^b f=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית. {{משל}} |
− | + | ||
− | + | ||
+ | ---- | ||
'''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות. | '''הגדרה:''' תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות. | ||
שורה 142: | שורה 139: | ||
===מסקנה 2=== | ===מסקנה 2=== | ||
− | עבור f כנ"ל מתקיים <math>\underline\int_a^b f | + | עבור f כנ"ל מתקיים <math>\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f</math>. |
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
− | מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> ולכן <math>\sup_P\underline S(f,P)\le\inf_Q\overline S(f,Q)</math>. כמו כן, לפי ההגדרה <math>\underline\int_a^b f | + | מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> ולכן <math>\sup_P\underline S(f,P)\le\inf_Q\overline S(f,Q)</math>. כמו כן, לפי ההגדרה <math>\underline\int_a^b f=\sup_Q\underline S(f,Q)</math> ו-<math>\inf_P\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f</math>. {{משל}} |
גרסה מ־19:22, 2 במרץ 2011
נושא ראשון:
אינטגרציה
הערה: האינטגרל הוא לא שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל.
תוכן עניינים
דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף
נתון הגרף (1) של y=x2. נחשב את השטח שמתחת לו. לצורך כך נחשב תחילה את השטח של המלבנים הגדולים והמלבנים הקטנים (החוסמים והחסומים).
ברור שסכום שטחי המלבנים גדול משטח הגרף. נחלק את הקטע :
![0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1](/images/math/b/5/a/b5a2d46d7dc9219f3515357b15273917.png)
(באופן כללי )
מעל כל תת קטע קטן נבנה "מלבן חוסם" שגובהו
. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם
כמו כן, מעל כל קטע קטן נבנה "מלבן חסום" שגובהו
ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום
כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-, ז"א
. הדבר נכון לכל
ולכן נוכל להשאיף את
ולקבל
, לכן
.
הגדרה: תהי מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה
קדומה ל-f ב-I אם
.
דוגמה: אם אז
.
משפט 0
אם ו-
קדומות ל-
בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-
הוכחה
נגדיר ולכן
. לפי תוצאה ממשפט לגרנג'
.
הגדרה: תהי רציפה בקטע
. נסמן ב-
את השטח שמתחת לגרף.
המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)
תהי מוגדרת ורציפה ב-
.
- לכל
נגדיר
אזי
.
- אם
קדומה ל-
ב-
אז
.
הוכחה
- גרף (3). רואים ש-
וננסה להוכיח ש-
. יהי x נתון. כעת לפי ההגדרה
. בציור:
= שטח הארובה,
= בסיס הארובה, לכן
= הגובה הממוצע של הארובה. לכן
= הגובה הממוצע כאשר
=
.
- נתונה פונקציה קדומה
. מחלק 1 ידוע גם ש-
פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-
. לכן
.
האינטגרל לפי דרבו
הקדמה - הגדרות
תהי מוגדרת וחסומה ע"י
ו-
בקטע
. נגדיר את התנודה של f ע"י
. כעת נגדיר חלוקה P של
:
![a=x_0<x_1<\dots<x_n=b](/images/math/b/9/e/b9e3e69b8b589784847d68a65a5a365a.png)
עוד נגדיר לכל את אורך תת קטע מספר k להיות
ואת הפרמטר של P להיות
.
לכל k כך ש- נגדיר
וכן
.
גרף (4).
בהתאם לכך נגדיר:
- שטח חוסם - הסכום העליון:
- שטח חסום - הסכום התחתון:
משפט 1
בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים .
הוכחה
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|||
לכל k מתקיים ![]() |
![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" ו"האינטגרל התחתון"
.
הגדרת האינטגרל לפי דרבו
תהי מוגדרת וחסומה ב-
. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-
אם
ואם הם שווים אז נגדיר
להיות הערך המשותף של
ו-
.
דוגמה
בקטע כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה
.
נקח חלוקה כלשהי ל-
:
.
לכל k מתקיים וכן
. לכן
ואילו
.
מכאן ו-
. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית.
הגדרה: תהי P חלוקה של קטע . חלוקה Q של
נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
משפט 2
תהי מוגדרת וחסומה ב-
. תהי P חלוקה של
ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז
(נזכיר ש- ו-
)
כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-.
הוכחה
מקרה ראשון: . ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת
כך ש-
עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר
ו-
.
כמו כן, לא שינינו כל תת קטע
עבור
כלשהו. לכן
![M_i\ge M_i^+,M_i^-](/images/math/5/a/d/5ad6ab75cacd62d937abe01524042397.png)
![\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}](/images/math/f/c/2/fc2cbee324ae96e1814e2cc8dc0ed399.png)
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
כמו כן,
![\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\le M_i(x_i-x_{i-1})-m_i(x_i-x_{i-1})\\&=(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\\&\le\Omega(x_i-x_{i-1})\\&\le\underbrace{r}_{=1}\lambda(P)\Omega\end{align}](/images/math/0/0/f/00f9ae8a280bdec41cdd15d8b04f28d7.png)
מקרה כללי: Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר בכל אחת מ-r המפעמים. לכן מיד נסיק
.
ההוכחה לסכום תחתון דומה.
מסקנה 1
נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של . אזי
.
הוכחה
נבנה עידון משותף, ז"א . לפי משפט 2 מתקיים
.
מסקנה 2
עבור f כנ"ל מתקיים .
הוכחה
מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של מתקיים
ולכן
. כמו כן, לפי ההגדרה
ו-
.