הבדלים בין גרסאות בדף "משפט פרמה (אינפי)"
מתוך Math-Wiki
(←ראו גם) |
|||
שורה 43: | שורה 43: | ||
* [[משפט רול]] | * [[משפט רול]] | ||
− | * [[משפט | + | * [[משפט לגראנז' (אינפי)|משפט לגראנז']] |
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה מ־13:53, 15 בפברואר 2012
תוכן עניינים
הגדרת נקודת קיצון מקומית
תהי מוגדרת בסביבת הנקודה
כך שלכל x בסביבה מתקיים:
(נקודת מקסימום מקומי)
או
(נקודת מינימום מקומי)
אזי הינה נקודת קיצון מקומית של
.
משפט פרמה
תהי נקודת קיצון מקומית של פונקציה
. אזי אם
גזירה ב
מתקיים:
הוכחה
נניח כי f גזירה בנקודת מקסימום מקומי (ההוכחה עבור מינימום דומה) . אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:
לפי משפט, כיוון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים.
לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של בה מתקיים
, וכיוון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם
.
לכן ביחד, מתקיים כי
באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של בה מתקיים
, וכיוון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם
.
לכן ביחד, מתקיים כי
סה"כ כפי שרצינו.