88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 1/פתרון

שאלה 1

השאלה לקוחה מתרגיל בית שהיה שנה שעברה, ולכן תוכלו למצוא את הפתרון כאן: הפתרון

שאלה 2

הפרכה לשני הסעיפים גם יחד:

[math]\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}+1 & x\in (1,2] \\ x^{2} & x\in [0,1] \end{matrix}\right. }[/math]

קל לראות שבכל חלק לפונקציה יש קדומה, אבל לפונקציה כשלעצמה אין - כי היא לא מקיימת תנאי ערך ביניים שמתקיים בכל נגזרת.

משפט דראבו (הוכחה): הוכחה בחסות Math-Wiki

שאלה 4

נוסחא רקורסיבית מורכבת מבסיס ומנוסחאת מעבר ממקרה מסויים למקרה פשוט יותר.

במקרה זה הבסיס הינו [math]\displaystyle{ m=0 }[/math] וזהו מקרה פשוט במיוחד:

[math]\displaystyle{ I_{0}=\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} }[/math]

צעד הרקורסיה:

ניעזר באינטגרציה בחלקים, באופן הבא:

[math]\displaystyle{ du=x^{\alpha}dx \Rightarrow u=I_{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ v=ln^{m}x\Rightarrow dv=\frac{mln^{m-1}x}{x}dx }[/math]

ולכן מתקיים:

[math]\displaystyle{ I_{m}=\int x^{\alpha}ln^{m}xdx=I_{0}ln^{m}x-\int \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\cdot \frac{mln^{m-1}x}{x}dx= }[/math]

[math]\displaystyle{ I_{0}ln^{m}x-\frac{m}{\alpha+1}\int x^{\alpha}ln^{m-1}xdx=I_{0}ln^{m}x-\frac{m}{\alpha+1}I_{m-1} }[/math]

ומצאנו את הנוסחא המתבקשת.