אינטגרל לא מסויים/דוגמאות

1

[math]\displaystyle{ \int \frac{1}{x} dx = ln|x|+c }[/math]

2

[math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}} }[/math]

פתרון

השלמה לריבוע והצבה ראשונה:

הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי:

[math]\displaystyle{ x^{2}-4x-5=(x-2)^{2}-9 }[/math]

ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: [math]\displaystyle{ u=x-2 }[/math], וכמובן קל להבין כי [math]\displaystyle{ dx=du }[/math].

[math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}} }[/math]

פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה):

ניעזר בתכונות של [math]\displaystyle{ sinh(x) }[/math] ושל [math]\displaystyle{ cosh(x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ (cosh(x))'=sinh(x)=\int cosh(x)dx }[/math]

וכן בזהות: [math]\displaystyle{ cosh^{2}(x)=sinh^{2}(x)+1 }[/math]

הצבה שנייה:

נציב: [math]\displaystyle{ u=3cosh(t)\Rightarrow du=3sinh(t)dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}}=\int \frac{3sinh(t)dt}{\sqrt{9cosh^{2}(t)-9}}=\int \frac{3sinh(t)dt}{3sinh(t)}=\int dt=t+constant }[/math]

ולהחזיר את t לx, אני משאיר לכם (:

3

האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה)

[math]\displaystyle{ \int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx }[/math]

פתרון

[math]\displaystyle{ \int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx=\begin{Bmatrix} t=tanx\\ dt=\frac{dx}{cos^{2}(x)} \end{Bmatrix} =\begin{Bmatrix} sin^{2}x=\frac{t^{2}}{t^{2}+1}\\ cos^{2}x=\frac{1}{t^{2}+1} \end{Bmatrix} =\int \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}+1}}{\frac{1}{(t^2+1)^{2}}}dt= }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx =\int \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}+1}}{\frac{1}{(t^2+1)^{2}}}dt=\int t^{2}(t^{2}+1)dt=\cdots =\frac{t^{5}}{5}+\frac{t^{3}}{3}+c }[/math]

4

בדומה לאינטגרל הקודם, לקוח מבועז צבאן (1.27)

[math]\displaystyle{ \int \sqrt{2-x-x^{2}}dx }[/math]

דרך א'

א. ניתן להשתמש בהצבת אויילר, אבל אנחנו ננקוט בטקטיקה שונה.

[math]\displaystyle{ \int \sqrt{2-x-x^{2}}dx=\int \sqrt{1.5^{2}-(x+0.5)^{2}}dx=\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du }[/math]

הצבה ראשונה: [math]\displaystyle{ u=x+0.5\Rightarrow dx=du }[/math]

הצבה שנייה: [math]\displaystyle{ u=1.5sint\Rightarrow du=1.5costdt }[/math]

ואם נחזור לחישוב האינטגרל,

[math]\displaystyle{ \int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=\int 1.5\sqrt{1-sin^{2}(t)} \cdot 1.5cos(t)dt=2.25\int cos^{2}(t)dt=2.25\int\frac{cos2t-1}{2}dt=2.25(\frac{sin2t}{4}-\frac{t}{2})+c }[/math]

ומכאן מעבירים את t לx.

דרך ב'

ההצבה הראשונה נשארת כפי שהייתה, אך הפעם לא נעשה הצבה שניה אלא נשתמש באינטגרציה בחלקים:

[math]\displaystyle{ \int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=\int (u)'\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+\int \frac{u^{2}du}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}} }[/math]

כעת נוכל להבחין כי מתקיים:

[math]\displaystyle{ \int \frac{u^{2}du}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}=\int \frac{u^{2}-1.5^{2}+1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du=\int\frac{1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du-\int\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du }[/math]

כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב: [math]\displaystyle{ 1.5v=u }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\frac{1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du=1.5^{2}\int \frac{1.5dv}{1.5\sqrt{1-v^{2}}}=1.5^{2}arcsin(v)=2.25arcsin(\frac{2u}{3}) }[/math]

אם נחזור לאינטגרל המקורי נקבל:

[math]\displaystyle{ \int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+2.25arcsin(\frac{2u}{3})-\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du }[/math]

[math]\displaystyle{ 2\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+2.25arcsin(\frac{2u}{3}) }[/math]

וסיימנו (: