הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←חישוב ההפכי) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←דוגמא) |
||
שורה 95: | שורה 95: | ||
== דוגמא == | == דוגמא == | ||
− | מצא את | + | מצא את ההופכי של <math>27</math> ב <math>\mathbb{Z}_{101}</math>. |
+ | |||
+ | נחשב | ||
+ | |||
+ | <math>101-3\cdot 27=20</math> | ||
+ | |||
+ | <math>27-20=7</math> | ||
+ | |||
+ | <math>20-2\cdot7 = 6</math> | ||
+ | |||
+ | <math>7-6=1</math> | ||
+ | |||
+ | עכשיו נחשב אחורה | ||
+ | |||
+ | <math>3\cdot 7-20=1 \Leftarrow 7-(20-2\cdot 7)=1</math> | ||
+ | |||
+ | <math>3\cdot 27 - 4\cdot 20=1 \Leftarrow 3 \cdot (27-20)-20=1</math> | ||
+ | |||
+ | <math>15\cdot 27 - 4\cdot 101=1 \Leftarrow 3\cdot 27 - 4\cdot(101-3\cdot 27)</math>. | ||
+ | |||
+ | לכן ההופכי של 27 ב <math>\mathbb{Z}_{101}</math> הוא 15. |
גרסה מ־19:22, 11 ביולי 2012
כאשר אנו מבצעים חישובים בשדה (נזכור ש
חייב להיות ראשוני), אנו נדרשים לפעמים לחשב הופכי לאיבר מסוים בשדה.
שיטה אחת לבצע זאת היא ע"י ניחוש,
אם אז יש
איברים שיכולים להיות הופכי:
(למעשה יש פחות, כי לעולם לא יהיה הופכי ו
הופכי רק ב
)
אפשר פשוט לנסות את כל האפשרויות עד שמוצאים הופכי.
שיטה זו טובה לשדות קטנים, אבל מה עושים אם רוצים למצוא הופכי ב ? בשיטה הזאת נצטרך לנסות 99 אפשרויות.
כדי להסביר איך מוצאים הופכי ב נצטרך להביא כמה הקדמות מתורת המספרים.
כמה מושגים בתורת המספרים
הגדרה: יהיו אומרים ש
מחלק את
(ומסמנים
)
אם קיים
כך ש
.
הגדרה: יהיו המחלק המשותף המירבי של
(מסומן
) הוא המספר הגדול ביותר שמחלק גם את
וגם את
.
כלומר
ההגדרה הזאת בעייתית כאשר במצב זה אומרים ש
.
נשים לב שאם מספר ראשוני ו
אז
משפט: יהיו ו
אזי קיימים
כך ש
.
הערה: נשים לב כי באמצעות משפט זה ניתן להוכיח את קיום ההופכי ב , כי אם
אז
לכן קיימים
כך ש
.
אם נפעיל על שני צידי המשוואה הזאת נקבל
שהופך ל
לכן
הוא הפכי מתאים ל
.
כל זה טוב ויפה, אבל איך מוצאים את ?
חישוב ההופכי
עבור שני מספרים כך ש
נתאר שיטה שבעזרתה ניתן למצוא את המספרים
כך ש
.
נתחיל מהמקרה
נניח ש , נסמן
.
(אם אז נסמן הפוך)
נחפש את המספר הגדול ביותר כך ש
.
ונסמן .
כעת נחפש את המספר הגדול ביותר כך ש
ונסמן .
נמשיך כך עד שנגיע לשלב שבו
.
עד כאן החלק הקל,
עכשיו צריך להתחיל חישוב אחורה
אבל בשלב הקודם קיבלנו ש
לכן אפשר להציב
שהופך ל:
אבל שוב, בשלב קודם ראינו ש
ואפשר להציב את התוצאה ב
שמופיע בביטוי
ולקבל ביטוי מהצורה
וכן הלאה עד שנגיע לביטוי מהצורה
שזה בדיוק
.
אם אז מוצאים
מתאימים עבור
ואז אז פשוט לוקחים את
.
דוגמא
מצא את ההופכי של ב
.
נחשב
עכשיו נחשב אחורה
.
לכן ההופכי של 27 ב הוא 15.