הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"
מתוך Math-Wiki
מ (←שיטות לפתרון מד״ר) |
מ (←מד״ר לינארית) |
||
שורה 32: | שורה 32: | ||
** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> ת״ל אזי <math>W(x)\equiv0</math>. | ** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> ת״ל אזי <math>W(x)\equiv0</math>. | ||
** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום <math>D</math> וכן <math>\exists x_0\in D:\ W(x_0)=0</math> אזי הם ת״ל. | ** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום <math>D</math> וכן <math>\exists x_0\in D:\ W(x_0)=0</math> אזי הם ת״ל. | ||
− | * '''משפט ליוביל:''' אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של המד״ר והיא הומוגנית אזי <math>\forall x:\ W(x)=W(x_0)\mathrm e^{- | + | * '''משפט ליוביל:''' אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של המד״ר והיא הומוגנית אזי <math>\forall x:\ W(x)=W(x_0)\mathrm e^{-\int\limits_{x_0}^x a_{n-1}(t)\mathrm dt}</math>. |
* הפתרון הכללי של המד״ר הוא <math>y=y_h+y_p</math>, כאשר <math>y_h</math> הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־<math>y_p</math> פתרון פרטי כלשהו של המד״ר. | * הפתרון הכללי של המד״ר הוא <math>y=y_h+y_p</math>, כאשר <math>y_h</math> הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־<math>y_p</math> פתרון פרטי כלשהו של המד״ר. | ||
* '''וריאציית הפרמטרים:''' נתונים <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא <math>\sum_{k=1}^n y_k(x)\int c_k'(x)\mathrm dx</math> כאשר <math>\begin{pmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1'\\c_2'\\\vdots\\c_n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\f(x)\end{pmatrix}</math>. באופן שקול: <math>c_k'(x)=\frac{W_k(x)}{W(x)}</math>, כאשר <math>W_k(x)=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_{k-1}(x)&0&y_{k+1}(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_{k-1}'(x)&0&y_{k+1}'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_{k-1}^{(n-1)}(x)&f(x)&y_{k+1}^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}</math>. | * '''וריאציית הפרמטרים:''' נתונים <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא <math>\sum_{k=1}^n y_k(x)\int c_k'(x)\mathrm dx</math> כאשר <math>\begin{pmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1'\\c_2'\\\vdots\\c_n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\f(x)\end{pmatrix}</math>. באופן שקול: <math>c_k'(x)=\frac{W_k(x)}{W(x)}</math>, כאשר <math>W_k(x)=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_{k-1}(x)&0&y_{k+1}(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_{k-1}'(x)&0&y_{k+1}'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_{k-1}^{(n-1)}(x)&f(x)&y_{k+1}^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}</math>. | ||
* נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב <math>y=\mathrm e^{rx}</math>, ולכן <math>y^{(k)}=r^k\mathrm e^{rx}</math> וגם <math>\sum_{k=0}^n a_k r^k=0</math>. אם השורשים השונים זה מזה הם <math>r_1,\dots,r_m</math> והריבויים שלהם <math>d_1,\dots,d_m</math> בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא <math>y=\sum_{k=1}^m\mathrm e^{r_kx}\sum_{i=0}^{d_k}c_{k,i}x^i</math>. אם <math>r_k</math> אינו ממשי ניתן לכתוב <math>r_k=\alpha+\beta\mathrm i</math> ואז, כיוון ש־<math>\overline{r_k}</math> שורש עם אותו ריבוי, נציב <math>C_1\mathrm e^{r_kx}+C_2\mathrm e^{\overline{r_k}x}=\mathrm e^{\alpha x}\Big(c_1\sin(\beta x)+c_2\cos(\beta x)\Big)</math>. | * נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב <math>y=\mathrm e^{rx}</math>, ולכן <math>y^{(k)}=r^k\mathrm e^{rx}</math> וגם <math>\sum_{k=0}^n a_k r^k=0</math>. אם השורשים השונים זה מזה הם <math>r_1,\dots,r_m</math> והריבויים שלהם <math>d_1,\dots,d_m</math> בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא <math>y=\sum_{k=1}^m\mathrm e^{r_kx}\sum_{i=0}^{d_k}c_{k,i}x^i</math>. אם <math>r_k</math> אינו ממשי ניתן לכתוב <math>r_k=\alpha+\beta\mathrm i</math> ואז, כיוון ש־<math>\overline{r_k}</math> שורש עם אותו ריבוי, נציב <math>C_1\mathrm e^{r_kx}+C_2\mathrm e^{\overline{r_k}x}=\mathrm e^{\alpha x}\Big(c_1\sin(\beta x)+c_2\cos(\beta x)\Big)</math>. | ||
* '''שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים:''' נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן <math>f(x)=P_m(x)\mathrm e^{\lambda x}</math>, כאשר <math>\lambda</math> קבועה (יכולה להיות גם 0), והריבוי של <math>\lambda</math> ב־<math>P_m(x)</math> הוא <math>d</math> (במידה ו־<math>\lambda</math> לא שורש נאמר <math>d=0</math>). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>x^dQ_m(x)\mathrm e^{\lambda x}</math> כאשר <math>\deg P_m=\deg Q_m</math>. ''הערה:'' אם <math>f(x)=g(x)+h(x)</math> נוכל לפתור עבור <math>g(x),h(x)</math> בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים. | * '''שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים:''' נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן <math>f(x)=P_m(x)\mathrm e^{\lambda x}</math>, כאשר <math>\lambda</math> קבועה (יכולה להיות גם 0), והריבוי של <math>\lambda</math> ב־<math>P_m(x)</math> הוא <math>d</math> (במידה ו־<math>\lambda</math> לא שורש נאמר <math>d=0</math>). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>x^dQ_m(x)\mathrm e^{\lambda x}</math> כאשר <math>\deg P_m=\deg Q_m</math>. ''הערה:'' אם <math>f(x)=g(x)+h(x)</math> נוכל לפתור עבור <math>g(x),h(x)</math> בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים. |
גרסה מ־13:56, 13 באוגוסט 2012
תוכן עניינים
משפטים חשובים
- משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית: תהי
פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־
בתיבה
, ונתונים תנאי ההתחלה
. אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע
.
- כל מד״ר מסדר
שקולה למערכת של
מד״ר מסדר 1:
. כמו כן, המערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.
שיטות לפתרון מד״ר
מד״ר מסדר 1
- מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה
. אם
אזי
פתרון, ואם
אזי
פתרון. אחרת
.
- נתונה מד״ר
. אז נציב
ו־
.
- הכללה: נתונה מד״ר
. אם
נציב
כאשר
. אחרת נבחר
ונציב
.
- הכללה: נתונה מד״ר
- מד״ר הומוגנית: נתונה מד״ר
. אזי נציב
ו־
.
- מד״ר לינארית: נתונה מד״ר
. אם היא לינארית־הומוגנית אזי
, ובכל מקרה
.
- משוואת ברנולי: נתונה מד״ר
. נציב
, כאשר אם
אז
פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־
), אם
אז פתרון סינגולרי, ואם
אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים:
.
- מד״ר מהצורה
היא מדויקת אם״ם יש
כך ש־
שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם
.
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־
כך שתהפוך למדויקת.
תלויה רק ב־
אם״ם
תלויה רק ב־
, ואז
. היא תלויה רק ב־
אם״ם
תלויה רק ב־
, ואז
.
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־
- משוואת ריקרטי: מד״ר מהצורה
. הפתרון הכללי הוא מהצורה
. אם
פתרון אזי
הפתרון הכללי.
- נתונה מד״ר
ממעלה
. אזי קיימות פונקציות
שעבורן
.
- אם
נציב
ואז
. בנוסף, אם
ו־
אזי
.
- אם
נציב
ואז
. בנוסף, אם
ו־
אזי
.
- שיטת פיקארד: נתונה בעיית ההתחלה
. נבחר פונקציה
שעבורה
, וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת
. במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים)
היא פתרון של הבעיה.
- משוואת קלרו: נתונה המד״ר
. אזי
או (כאשר
)
.
- משוואת לגראנז׳: נתונה המד״ר
עבור
. נציב
ואז
. לפיכך
מקיים
או
(מקרה זה יש לבדוק בנפרד), ו־
מקיים
.
מד״ר מסדר 2
- בהנתן מד״ר
או
נציב
ונקבל
או
, בהתאמה. מתקיים
ו־
.
מד״ר מכל סדר
מד״ר לינארית
בפרק זה המד״ר היא תמיד , וכן
הם פולינומים ממעלה
או פחות.
- אם המד״ר לינארית־הומוגנית אז מרחב הפתרונות שלה הוא מרחב וקטורי.
- אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות
מימדי.
- אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות
- ורונסקיאן: עבור קבוצת פונקציות
מגדירים
.
- אם
ת״ל אזי
.
- אם
פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום
וכן
אזי הם ת״ל.
- אם
- משפט ליוביל: אם
פתרונות בת״ל של המד״ר והיא הומוגנית אזי
.
- הפתרון הכללי של המד״ר הוא
, כאשר
הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־
פתרון פרטי כלשהו של המד״ר.
- וריאציית הפרמטרים: נתונים
פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא
כאשר
. באופן שקול:
, כאשר
.
- נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב
, ולכן
וגם
. אם השורשים השונים זה מזה הם
והריבויים שלהם
בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא
. אם
אינו ממשי ניתן לכתוב
ואז, כיוון ש־
שורש עם אותו ריבוי, נציב
.
- שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים: נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן
, כאשר
קבועה (יכולה להיות גם 0), והריבוי של
ב־
הוא
(במידה ו־
לא שורש נאמר
). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה
כאשר
. הערה: אם
נוכל לפתור עבור
בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.