הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"

גרסה מ־12:38, 26 באוגוסט 2012

נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה $A$ היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות $A$ ).

ודרגת השורות של מטריצה $A$ היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות $A$ ).

הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:

תהי $A \in \mathbb{F}^{m\times n}$ מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא $k$ .

כלומר $dim{C(A)}=k$ .

יהיה $B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m$ בסיס עבור $C(A)$ .

נסמן ב $D$ את המטריצה שעמודותיה הם איברי $B$ .

כלומר

$D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k}$

נשים לב שבגלל ש $B$ בסיס ל $C(A)$ הוא פורש כל עמודה של $A$ .

כלומר לכל עמודה $C_i(A)$ מתקיים ש $C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}$ .

נסמן

$C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{n,i}b_n$

כלומר $C_i($

@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 ודרגת השורות של מטריצה <math>A</math> היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות <math>A</math>).
 הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:
@@ שורה 12: / שורה 14: @@
 כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>.
-יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>.
+יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>.
 נסמן ב <math>D</math> את המטריצה שעמודותיה הם איברי <math>B</math>.
 כלומר
+<math>D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&|  \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} </math>
 נשים לב שבגלל ש <math>B</math> בסיס ל <math>C(A)</math> הוא פורש כל עמודה של <math>A</math>.
 כלומר לכל עמודה <math>C_i(A)</math> מתקיים ש <math>C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}</math>.
+נסמן
+<math>C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{n,i}b_n</math>
+כלומר <math>C_i(</math>