הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 9: שורה 9:
  
 
הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:
 
הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:
 +
  
 
תהי <math>A \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא <math>k</math>.
 
תהי <math>A \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא <math>k</math>.
  
 
כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>.
 
כלומר <math>dim{C(A)}=k</math>.
 +
 +
ההוכחה מחולקת לכמה שלבים.
 +
 +
שלב א': למצוא מטריצות <math>D,R</math> כך שמספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>. ומתקיים <math>A=DR</math>.
 +
  
 
יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>.
 
יהיה <math>B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> בסיס עבור <math>C(A)</math>.
שורה 31: שורה 37:
 
כלומר <math>C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k</math>  
 
כלומר <math>C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k</math>  
  
−
כלומר <math>(\ast) \quad C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&|  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} </math>
+
כלומר <math> C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&|  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} </math>
 +
 
 +
נגדיר מטריצה <math>R \in \mathbb{F}^{k \times n}</math> לפי
 +
<math>R_{i,j}=\alpha_{i,j}</math>.
 +
 
 +
נשים לב ש הכפל <math>DR</math> מוגדר היות ומספר העמודות ב <math>D</math> ומספר השורות ב <math>R</math> הם <math>k</math>.
 +
 
 +
נקבל ש<math>C_i(DR)=DC_i(R)=D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}=C_i(A)</math>
 +
 
 +
כלומר <math>DR=A</math>.
 +
 
 +
סוף שלב א'.
 +
 
 +
שלב ב': לראות ש <math>A=DR</math> אומר שדרגת השורות של <math>A</math> קטנה מדרגת השורות של <math>R</math> ולהסיק מסקנות.
 +
 
 +
 
 +
לפי כפל שורה שורה
 +
<math>R_i(A)=R_i(D)R=D_{i,1}R_1(R)+D_{i,2}R_2(R)+\ldots + D_{i,k}R_k(R)</math>
 +
 
 +
כלומר
 +
 
 +
<math>R_i(A) \in span\{R_1(R),R_2(R), \ldots , R_k(R)\}</math>
 +
 
 +
לכן <math>R(A) \subseteq R(R)</math>
 +
 
 +
ולכן <math>dimR(A) \leq dimR(R) \leq k = dimC(A)</math>
 +
 
 +
(מרחב השורות של המטריצה <math>R</math> לא יכול להיות יותר מ  <math>k</math> כי יש ב <math>R</math> רק <math>k</math> שורות.)
 +
 
 +
זה מוכיח שלכל מטריצה <math>A</math> מתקיים ש <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math>.
 +
 
 +
סוף שלב ב'
 +
 
 +
שלב ג': סיום.
 +
 
 +
 
 +
נשים לב ש <math>dimC(A) = dim R(A^t) \leq dimC(A^t) = dimR(A)</math>
 +
 
 +
בסה"כ קיבלנו <math>dimC(A) \leq dimR(A)</math> וגם <math>dimR(A) \leq dimC(A)</math> ולכן
  
−
נגדיר מטריצה <math>R \in \mathbb{F}^{}</math>
+
<math>dimR(A)=dimC(A)</math> מש"ל.

גרסה מ־13:38, 26 באוגוסט 2012


נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה A היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות A).

ודרגת השורות של מטריצה A היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות A).


הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:


תהי A \in \mathbb{F}^{m\times n} מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא k.

כלומר dim{C(A)}=k.

ההוכחה מחולקת לכמה שלבים.

שלב א': למצוא מטריצות D,R כך שמספר העמודות ב D ומספר השורות ב R הם k. ומתקיים A=DR.


יהיה B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m בסיס עבור C(A).

נסמן ב D את המטריצה שעמודותיה הם איברי B.

כלומר

D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k}


נשים לב שבגלל ש B בסיס ל C(A) הוא פורש כל עמודה של A.

כלומר לכל עמודה C_i(A) מתקיים ש C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\}.

נסמן [C_i(A)]_B=\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}

כלומר C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k

כלומר C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}

נגדיר מטריצה R \in \mathbb{F}^{k \times n} לפי R_{i,j}=\alpha_{i,j}.

נשים לב ש הכפל DR מוגדר היות ומספר העמודות ב D ומספר השורות ב R הם k.

נקבל שC_i(DR)=DC_i(R)=D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}=C_i(A)

כלומר DR=A.

סוף שלב א'.

שלב ב': לראות ש A=DR אומר שדרגת השורות של A קטנה מדרגת השורות של R ולהסיק מסקנות.


לפי כפל שורה שורה R_i(A)=R_i(D)R=D_{i,1}R_1(R)+D_{i,2}R_2(R)+\ldots + D_{i,k}R_k(R)

כלומר

R_i(A) \in span\{R_1(R),R_2(R), \ldots , R_k(R)\}

לכן R(A) \subseteq R(R)

ולכן dimR(A) \leq dimR(R) \leq k = dimC(A)

(מרחב השורות של המטריצה R לא יכול להיות יותר מ k כי יש ב R רק k שורות.)

זה מוכיח שלכל מטריצה A מתקיים ש dimR(A) \leq dimC(A).

סוף שלב ב'

שלב ג': סיום.


נשים לב ש dimC(A) = dim R(A^t) \leq dimC(A^t) = dimR(A)

בסה"כ קיבלנו dimC(A) \leq dimR(A) וגם dimR(A) \leq dimC(A) ולכן

dimR(A)=dimC(A) מש"ל.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:איתמר_שטיין&oldid=26290