אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון מועד א'

שאלה 1

ב. הפרכה:

נניח כי [math]\displaystyle{ T }[/math] באמת חד חד ערכית.

זה אומר כי [math]\displaystyle{ Ker(T)=\{0\} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ dimKer(T)=0 }[/math].

לפי משפט הדרגה [math]\displaystyle{ dimKer(T)+dimIm(T)=dimV=n }[/math]

היות ו [math]\displaystyle{ dimKer(T)=0 }[/math].

נקבל כי [math]\displaystyle{ dimIm(T)=n }[/math].

מצד שני, [math]\displaystyle{ Im(T) \subseteq W }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ dimIm(T) \leq dim W =m }[/math].

קיבלנו ש [math]\displaystyle{ n=dimIm(T)\leq m }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ n \leq m }[/math] בסתירה לנתון ש [math]\displaystyle{ n \gt m }[/math].

סתירה.

ולכן [math]\displaystyle{ T }[/math] לא יכולה להיות חד חד ערכית.