משתמש:איתמר שטיין

• הסבר על חישוב הופכי ב [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math]

שאלה 1

סעיף א

עבור נקודות [math]\displaystyle{ (x,y,z)\neq (0,0,0) }[/math] פשוט גוזרים את הפונקציה לפי [math]\displaystyle{ x }[/math]

[math]\displaystyle{ f_x(x,y,z)=\frac{zy\cos(xy){(x^2+y^2+z^2)}^\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{(x^2+y^2+z^2)}^{-\frac{2}{3}}\cdot (2x)\cdot{(z\sin(xy))}}{{(x^2+y^2+z^2)}^\frac{2}{3}} }[/math]

עבור הנקודה [math]\displaystyle{ (x,y,z)=(0,0,0) }[/math] קל לראות ש

[math]\displaystyle{ \lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t,0,0)-f(0,0,0)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{0-0}{t}=0 }[/math]

סעיף ב

כמו שראינו בקלות ש [math]\displaystyle{ f_x(0,0,0)=0 }[/math] קל לראות שגם [math]\displaystyle{ f_y(0,0,0)=0 }[/math] ו [math]\displaystyle{ f_z(0,0,0)=0 }[/math].

ראשית נוודא ש [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה (לא חייבים, אבל בדר"כ שווה לבדוק. כי אם היא לא רציפה אז ברור שהיא לא דיפרנציאבילית).

נשים לב ש

[math]\displaystyle{ |\frac{z\sin(xy)}{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{1}{3}}}|\leq |\frac{z}{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{1}{3}}}|\leq |\frac{z}{{(z^2)}^{\frac{1}{3}}}|=|z^{\frac{1}{3}}|\rightarrow 0 }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה.

נבדוק דיפרנציאביליות

צריך לבדוק אם [math]\displaystyle{ \epsilon (h_1,h_2,h_3) }[/math] המוגדרת לפי:

[math]\displaystyle{ f(h_1,h_2,h_3)-f(0,0,0)=f_x(0,0,0)h_1+f_y(0,0,0)h_2+f_z(0,0,0)h_3+\epsilon(h_1,h_2,h_3)\sqrt{h_1^2+h_2^2+h_3^2} }[/math]

מתכנסת ל [math]\displaystyle{ 0 }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ (0,0,0) }[/math].

במקרה שלנו צריך לבדוק את:

[math]\displaystyle{ \lim_{(h_1,h_2,h_3)\rightarrow (0,0,0)}\frac{h_3\sin (h_1 h_2)}{{(h_1^2+h_2^2+h_3^2)}^\frac{1}{3}\cdot {(h_1^2+h_2^2+h_3^2)}^{\frac{1}{2}}} = \lim_{(h_1,h_2,h_3)\rightarrow (0,0,0)}\frac{h_3 h_1 h_2}{{(h_1^2+h_2^2+h_3^2)}^\frac{5}{6}}\frac{\sin(h_1 h_2)}{h_1 h_2} }[/math]

היות ו

[math]\displaystyle{ \lim_{(h_1,h_2,h_3)\rightarrow (0,0,0)} \frac{\sin(h_1 h_2)}{h_1 h_2} = 1 }[/math]

נותר לבדוק את

[math]\displaystyle{ \lim_{(h_1,h_2,h_3)\rightarrow (0,0,0)}\frac{h_3 h_1 h_2}{{(h_1^2+h_2^2+h_3^2)}^\frac{5}{6}} }[/math]

נשים לב ש

[math]\displaystyle{ |\frac{h_3 h_1 h_2}{{(h_1^2+h_2^2+h_3^2)}^\frac{5}{6}}|\leq |\frac{h_3 h_1 h_2}{{(h_1^2+h_2^2)}^\frac{5}{6}}| \leq |h_3||\frac{h_1 h_2}{{(2h_1 h_2)}^\frac{5}{6}}|= |h_3||{(h_1 h_2)}^{\frac{1}{6}}|\rightarrow 0 }[/math]

דרך אחרת (שימושית כאשר יש במכנה דברים בסגנון [math]\displaystyle{ ||h|| }[/math]):

עוברים לקוארדינטות כדוריות

[math]\displaystyle{ h_1 = r\cos \theta \sin \varphi,\quad h_2 = r\sin \theta \sin \varphi ,\quad h_3 = r \cos \varphi }[/math]

ואז צריך לחשב גבול

[math]\displaystyle{ \lim_{r\rightarrow 0}\frac {r^3 \cos \theta \sin \theta \sin ^2 \varphi \cos \varphi}{{(r^2)}^{\frac{5}{6}}} =\lim_{r\rightarrow 0} {r^{\frac{8}{6}} \cos \theta \sin \theta \sin ^2 \varphi \cos \varphi}=0 }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] דיפרנציאבילית ב [math]\displaystyle{ (0,0,0) }[/math].