הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:הגדרת מרחב עצמי"
(יצירת דף עם התוכן "\begin{definition} תהי $A$ מטריצה ריבועית, ויהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של $A$. נגדיר $V_\lambda\left(A\right)=\left\{v\in\mathb...") |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
\begin{definition} | \begin{definition} | ||
− | תהי $A$ מטריצה ריבועית, ויהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של $A$. נגדיר $V_\lambda\left(A\right)=\left\{v\in\mathbb{F}^n\mid Av=\lambda v\right\}$ | + | תהי $A$ מטריצה ריבועית, ויהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של $A$. נגדיר |
+ | $$V_\lambda\left(A\right)=\left\{v\in\mathbb{F}^n\mid Av=\lambda v\right\}$$ | ||
+ | $V_\lambda\left(A\right)$ נקרא \textbf{המרחב העצמי} של $A$ הקשור ל-$\lambda$. | ||
בעצם, זוהי קבוצת כל הווקטורים העצמיים של $A$ הקשורים ל-$\lambda$, ביחד עם וקטור האפס. | בעצם, זוהי קבוצת כל הווקטורים העצמיים של $A$ הקשורים ל-$\lambda$, ביחד עם וקטור האפס. |
גרסה מ־12:14, 2 בספטמבר 2014
\begin{definition}
תהי $A$ מטריצה ריבועית, ויהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של $A$. נגדיר $$V_\lambda\left(A\right)=\left\{v\in\mathbb{F}^n\mid Av=\lambda v\right\}$$ $V_\lambda\left(A\right)$ נקרא \textbf{המרחב העצמי} של $A$ הקשור ל-$\lambda$.
בעצם, זוהי קבוצת כל הווקטורים העצמיים של $A$ הקשורים ל-$\lambda$, ביחד עם וקטור האפס.
\end{definition}
\begin{remark}
$V_\lambda\left(A\right)$ הוא תת-מרחב וקטורי של $V=\mathbb{F}^n$.
\end{remark}
\begin{proof}
$0\in V_\lambda\left(A\right)$ - טריוויאלי, מכיוון ש-$A\cdot 0=0=\lambda\cdot 0$.
כמו כן, אם $v_1,v_2\in V_\lambda\left(A\right)$ ו-$\alpha,\beta\in\mathbb{F}$, מתקיים $$A\left(\alpha v_1+\beta v_2\right)=\alpha Av_1+\beta Av_2=\alpha\lambda v_1+\beta\lambda v_2=\lambda\left(\alpha v_1+\beta v_2\right)$$ ומכאן $\alpha v_1+\beta v_2\in V_\lambda\left(A\right)$.
\end{proof}
\begin{definition}
נגדיר לכל ע"ע של אופרטור לינארי $T$, מרחב $V_\lambda\left(T\right)=\left\{v\in V\mid Tv=\lambda v\right\}$. $V_\lambda\left(T\right)$ נקרא \textbf{המרחב העצמי} של $T$ הקשור ל-$\lambda$.
\end{definition}
כמו במטריצות, זהו אוסף הווקטורים העצמיים עם אפס, וגם זה מרחב וקטורי (הוכחה דומה).