הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:וקטורים עצמיים הקשורים לערכים עצמיים שונים"
(יצירת דף עם התוכן "נשאלת השאלה מה הקשר בין וקטורים עצמיים הקשורים לערכים עצמיים שונים. במילים אחרות, מה הקש...") |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | נשאלת השאלה מה הקשר בין וקטורים עצמיים הקשורים לערכים עצמיים שונים. במילים אחרות, מה הקשר בין המרחבים העצמיים של מטריצה | + | נשאלת השאלה מה הקשר בין וקטורים עצמיים הקשורים לערכים עצמיים שונים. במילים אחרות, מה הקשר בין המרחבים העצמיים של מטריצה (או של אופרטור). |
− | \ | + | \begin{thm} |
ו"ע הקשורים לע"ע שונים הם בת"ל. | ו"ע הקשורים לע"ע שונים הם בת"ל. | ||
− | \ | + | \end{thm} |
− | + | \begin{proof} | |
− | בשלילה, נניח ש-$\left \{ v_1,\dots,v_s \right \}$ ת"ל. אם כן, קיימת לה תת-קבוצה ת"ל מינימלית, נסמנה $\left \{ v_1,\dots,v_t \right \}$. | + | יהיו $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ ע"ע שונים, ונסמן $v_1,\dots,v_s$ הקשורים ל-$\lambda_1,\dots,\lambda_s$ בהתאמה. נוכיח $\left \{ v_1,\dots,v_s \right \}$ בת"ל. בשלילה, נניח ש-$\left \{ v_1,\dots,v_s \right \}$ ת"ל. אם כן, קיימת לה תת-קבוצה ת"ל מינימלית, נסמנה $\left \{ v_1,\dots,v_t \right \}$. |
ניקח צירוף לינארי $\left ( 1 \right )\quad\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_t v_t=0$, כאשר קיים $1\leq i\leq t$ שעבורו $\alpha_i\neq 0$. נפעיל את האופרטור $T$: | ניקח צירוף לינארי $\left ( 1 \right )\quad\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_t v_t=0$, כאשר קיים $1\leq i\leq t$ שעבורו $\alpha_i\neq 0$. נפעיל את האופרטור $T$: | ||
שורה 20: | שורה 20: | ||
כיוון ש-$t-1<t$, ותת-הקבוצה $\left \{ v_1,\dots,v_t \right \}$ היא הקטנה ביותר ות"ל, כל המקדמים בצירוף הלינארי מתאפסים, כלומר | כיוון ש-$t-1<t$, ותת-הקבוצה $\left \{ v_1,\dots,v_t \right \}$ היא הקטנה ביותר ות"ל, כל המקדמים בצירוף הלינארי מתאפסים, כלומר | ||
− | $\left\{\begin{matrix} | + | $$\left\{\begin{matrix} |
\alpha_1\left(\lambda_1-\lambda_t \right )=0\\ | \alpha_1\left(\lambda_1-\lambda_t \right )=0\\ | ||
\vdots\\ | \vdots\\ | ||
\alpha_{t-1}\left(\lambda_{t-1}-\lambda_t \right )=0 | \alpha_{t-1}\left(\lambda_{t-1}-\lambda_t \right )=0 | ||
− | \end{matrix} \right.$ | + | \end{matrix} \right.$$ |
− | + | ||
כל הע"ע שונים, לכן $\alpha_1=\cdots=\alpha_{t-1}=0$. נציב ב-$\left(1\right)$, ונקבל $\alpha_t v_t=0$. אבל $v_t\neq 0$, ולכן $\alpha_t=0$. | כל הע"ע שונים, לכן $\alpha_1=\cdots=\alpha_{t-1}=0$. נציב ב-$\left(1\right)$, ונקבל $\alpha_t v_t=0$. אבל $v_t\neq 0$, ולכן $\alpha_t=0$. | ||
שורה 31: | שורה 30: | ||
לכן $\left \{ v_1,\dots,v_s \right \}$ בת"ל, כדרוש. | לכן $\left \{ v_1,\dots,v_s \right \}$ בת"ל, כדרוש. | ||
+ | |||
+ | \end{proof} |
גרסה מ־13:35, 2 בספטמבר 2014
נשאלת השאלה מה הקשר בין וקטורים עצמיים הקשורים לערכים עצמיים שונים. במילים אחרות, מה הקשר בין המרחבים העצמיים של מטריצה (או של אופרטור).
\begin{thm}
ו"ע הקשורים לע"ע שונים הם בת"ל.
\end{thm}
\begin{proof}
יהיו $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ ע"ע שונים, ונסמן $v_1,\dots,v_s$ הקשורים ל-$\lambda_1,\dots,\lambda_s$ בהתאמה. נוכיח $\left \{ v_1,\dots,v_s \right \}$ בת"ל. בשלילה, נניח ש-$\left \{ v_1,\dots,v_s \right \}$ ת"ל. אם כן, קיימת לה תת-קבוצה ת"ל מינימלית, נסמנה $\left \{ v_1,\dots,v_t \right \}$.
ניקח צירוף לינארי $\left ( 1 \right )\quad\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_t v_t=0$, כאשר קיים $1\leq i\leq t$ שעבורו $\alpha_i\neq 0$. נפעיל את האופרטור $T$: $T\left (\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_t v_t \right )=T\left (0 \right )$. אבל אלו וקטורים עצמיים, ולכן $\left ( \star \right )\quad\alpha_1\lambda_1v_1 +\cdots+\alpha_t\lambda_tv_t=0$.
נחזור ל-$\left(1\right)$, ונכפול את המשוואה ב-$\lambda_t$: $\left ( \star\star \right )\quad\alpha_1\lambda_tv_1 +\cdots+\alpha_t\lambda_tv_t=0$.
נחסר $\left ( \star \right )-\left ( \star\star \right )$. נקבל את המשוואה $\alpha_1\left(\lambda_1-\lambda_t\right )v_1 +\cdots+\alpha_t\left(\lambda_{t-1}-\lambda_t\right )v_t=0$.
כיוון ש-$t-1<t$, ותת-הקבוצה $\left \{ v_1,\dots,v_t \right \}$ היא הקטנה ביותר ות"ל, כל המקדמים בצירוף הלינארי מתאפסים, כלומר $$\left\{\begin{matrix} \alpha_1\left(\lambda_1-\lambda_t \right )=0\\ \vdots\\ \alpha_{t-1}\left(\lambda_{t-1}-\lambda_t \right )=0 \end{matrix} \right.$$ כל הע"ע שונים, לכן $\alpha_1=\cdots=\alpha_{t-1}=0$. נציב ב-$\left(1\right)$, ונקבל $\alpha_t v_t=0$. אבל $v_t\neq 0$, ולכן $\alpha_t=0$.
לסיכום, קיבלנו שאם $\left ( 1 \right )\quad\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_t v_t=0$, אזי $\alpha_1=\cdots=\alpha_t=0$, בסתירה להיות הקבוצה ת"ל.
לכן $\left \{ v_1,\dots,v_s \right \}$ בת"ל, כדרוש.
\end{proof}