הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:משפט קאלי-המילטון"
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | \ | + | \begin{thm}[משפט קאלי-המילטון, Cayley-Hamilton] |
$p_A\left(A\right)=0$. | $p_A\left(A\right)=0$. | ||
+ | |||
+ | \end{thm} | ||
\underline{תזכורת:} | \underline{תזכורת:} | ||
− | בהוכחת המשפט ניעזר במושג מהקורס לינארית 1: המטריצה הנלווית הקלאסית הינה $\left [adj A \right ]_{ij}=\left(-1 \right )^{i+j}\det M_{ji}$, כאשר $M_{ji}$ הוא המינור ה-$ji$ - מורידים מהמטריצה $A$ את השורה ה-$j$ ואת העמודה ה-$i$. | + | בהוכחת המשפט ניעזר במושג מהקורס לינארית 1: המטריצה הנלווית הקלאסית הינה $\left [\operatorname{adj} A \right ]_{ij}=\left(-1 \right )^{i+j}\det M_{ji}$, כאשר $M_{ji}$ הוא המינור ה-$ji$ - מורידים מהמטריצה $A$ את השורה ה-$j$ ואת העמודה ה-$i$. |
− | אחד המשפטים החשובים לגבי המטריצה הנלווית הינו $A\cdot | + | אחד המשפטים החשובים לגבי המטריצה הנלווית הינו $A\cdot \operatorname{adj}A=\det\left(A \right )\cdot I$. |
− | \ | + | \begin{proof} |
תהי $A\in M_n\left(\mathbb{F}\right)$. נתבונן במטריצה $xI_n-A$. לפי התזכורת הנ"ל, מתקיים | תהי $A\in M_n\left(\mathbb{F}\right)$. נתבונן במטריצה $xI_n-A$. לפי התזכורת הנ"ל, מתקיים | ||
− | $\left (xI_n-A \right )\cdot adj\left (xI_n-A \right )=\det\left(xI_n-A \right )\cdot I$ | + | $$\left (xI_n-A \right )\cdot \operatorname{adj}\left (xI_n-A \right )=\det\left(xI_n-A \right )\cdot I$$ |
− | + | ||
נציג את הביטוי באגף שמאל בצורה הבאה: | נציג את הביטוי באגף שמאל בצורה הבאה: | ||
− | $adj\left (xI-A \right )=B_0+B_1x+\cdots+B_nx^n$ | + | $$\operatorname{adj}\left (xI-A \right )=B_0+B_1x+\cdots+B_nx^n$$ |
נשים לב שלפי הגדרת המטריצה הנלווית, כל הדטרמיננטות הן של מטריצות מגודל $\left(n-1\right)\times\left(n-1\right)$. אם כן, $B_n=0$; החזקה הגבוהה ביותר ש-$x$ יופיע בה היא $n-1$. | נשים לב שלפי הגדרת המטריצה הנלווית, כל הדטרמיננטות הן של מטריצות מגודל $\left(n-1\right)\times\left(n-1\right)$. אם כן, $B_n=0$; החזקה הגבוהה ביותר ש-$x$ יופיע בה היא $n-1$. | ||
− | |||
נחזור למשוואה. נקבל | נחזור למשוואה. נקבל | ||
− | $\left ( xI-A \right )\left (B_0+B_1x+\cdots+B_nx^n \right )=\det\left(xI-A \right )\cdot I$ | + | $$\left ( xI-A \right )\left (B_0+B_1x+\cdots+B_nx^n \right )=\det\left(xI-A \right )\cdot I$$ |
− | + | ||
נסמן $p_A\left(x \right )=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$. נתבונן במקדמים בכל אגף: | נסמן $p_A\left(x \right )=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$. נתבונן במקדמים בכל אגף: | ||
\begin{tabular}{ c | c | c | c | c | c | c } | \begin{tabular}{ c | c | c | c | c | c | c } | ||
$x^0$ & $x^1$ & $x^2$ & $\cdots$ & $x^{n-1}$ & $x^n$ \\ \hline | $x^0$ & $x^1$ & $x^2$ & $\cdots$ & $x^{n-1}$ & $x^n$ \\ \hline | ||
− | $-AB_0$ & $B_0-AB_1$ & $B_1-AB_2$ & $\cdots$ & $B_{n-2}-AB_{n-1}$ & $B_{n-1}$ & | + | $-AB_0$ & $B_0-AB_1$ & $B_1-AB_2$ & $\cdots$ & $B_{n-2}-AB_{n-1}$ & $B_{n-1}$ & שמאל\\ |
− | $a_0I$ & $a_1I$ & $a_2I$ & $\cdots$ & $a_{n-1}I$ & $I$ & | + | $a_0I$ & $a_1I$ & $a_2I$ & $\cdots$ & $a_{n-1}I$ & $I$ & ימין |
\end{tabular} | \end{tabular} | ||
שורה 36: | שורה 35: | ||
\end{tabular} | \end{tabular} | ||
− | נשים לב כי אם נסכום את השורות, יהיה שוויון. הסכום של השורה העליונה | + | נשים לב כי אם נסכום את השורות, יהיה שוויון. הסכום של השורה העליונה (אגף שמאל) מתאפס, ואילו הסכום של השורה התחתונה (אגף ימין) הינו $p_A\left(A\right)$. |
בסך הכל, $p_A\left(A\right)=0$. | בסך הכל, $p_A\left(A\right)=0$. | ||
− | \ | + | \end{proof} |
− | לכאורה, ניתן להוכיח את המשפט באופן הבא: נסתכל על $p_A\left(x \right )=\det\left(xI-A\right)$, ונציב $A$. נקבל $p_A\left(A \right )=\det\left(AI-A\right)=\det\left(0 \right )=0$ | + | \begin{remark} |
+ | |||
+ | לכאורה, ניתן להוכיח את המשפט באופן הבא: נסתכל על $p_A\left(x \right )=\det\left(xI-A\right)$, ונציב $A$. נקבל | ||
+ | $$p_A\left(A \right )=\det\left(AI-A\right)=\det\left(0 \right )=0$$ | ||
+ | נציג שני נימוקים שבגללם הוכחה זו נכשלת. | ||
הנימוק האחד הוא שהמטריצה $xI$ אינה סתם הכפלה של $I$ בסקלר; היא מסמלת מטריצה שעל האלכסון הראשי שלה מופיע $x$, ובשאר המקומות אפס. אם כן, הצבת $A$ במקום $x$ תאמר שהמטריצה $AI$ מסמלת מטריצה שבה $A$ על האלכסון בבלוקים ובשאר אפסים? החיסור לא יוגדר! | הנימוק האחד הוא שהמטריצה $xI$ אינה סתם הכפלה של $I$ בסקלר; היא מסמלת מטריצה שעל האלכסון הראשי שלה מופיע $x$, ובשאר המקומות אפס. אם כן, הצבת $A$ במקום $x$ תאמר שהמטריצה $AI$ מסמלת מטריצה שבה $A$ על האלכסון בבלוקים ובשאר אפסים? החיסור לא יוגדר! | ||
הנימוק השני הוא טכני - כפי שהוגדר, כשמציבים מטריצה בפולינום, מתקבלת מטריצה. עם זאת, בשיטה זו קיבלנו מספר... | הנימוק השני הוא טכני - כפי שהוגדר, כשמציבים מטריצה בפולינום, מתקבלת מטריצה. עם זאת, בשיטה זו קיבלנו מספר... | ||
+ | |||
+ | \end{remark} |
גרסה מ־14:45, 2 בספטמבר 2014
\begin{thm}[משפט קאלי-המילטון, Cayley-Hamilton]
$p_A\left(A\right)=0$.
\end{thm}
\underline{תזכורת:}
בהוכחת המשפט ניעזר במושג מהקורס לינארית 1: המטריצה הנלווית הקלאסית הינה $\left [\operatorname{adj} A \right ]_{ij}=\left(-1 \right )^{i+j}\det M_{ji}$, כאשר $M_{ji}$ הוא המינור ה-$ji$ - מורידים מהמטריצה $A$ את השורה ה-$j$ ואת העמודה ה-$i$.
אחד המשפטים החשובים לגבי המטריצה הנלווית הינו $A\cdot \operatorname{adj}A=\det\left(A \right )\cdot I$.
\begin{proof}
תהי $A\in M_n\left(\mathbb{F}\right)$. נתבונן במטריצה $xI_n-A$. לפי התזכורת הנ"ל, מתקיים $$\left (xI_n-A \right )\cdot \operatorname{adj}\left (xI_n-A \right )=\det\left(xI_n-A \right )\cdot I$$ נציג את הביטוי באגף שמאל בצורה הבאה: $$\operatorname{adj}\left (xI-A \right )=B_0+B_1x+\cdots+B_nx^n$$ נשים לב שלפי הגדרת המטריצה הנלווית, כל הדטרמיננטות הן של מטריצות מגודל $\left(n-1\right)\times\left(n-1\right)$. אם כן, $B_n=0$; החזקה הגבוהה ביותר ש-$x$ יופיע בה היא $n-1$. נחזור למשוואה. נקבל $$\left ( xI-A \right )\left (B_0+B_1x+\cdots+B_nx^n \right )=\det\left(xI-A \right )\cdot I$$ נסמן $p_A\left(x \right )=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$. נתבונן במקדמים בכל אגף:
\begin{tabular}{ c | c | c | c | c | c | c } $x^0$ & $x^1$ & $x^2$ & $\cdots$ & $x^{n-1}$ & $x^n$ \\ \hline
$-AB_0$ & $B_0-AB_1$ & $B_1-AB_2$ & $\cdots$ & $B_{n-2}-AB_{n-1}$ & $B_{n-1}$ & שמאל\\
$a_0I$ & $a_1I$ & $a_2I$ & $\cdots$ & $a_{n-1}I$ & $I$ & ימין \end{tabular}
יש שוויון בכל עמודה בין השורות, כי אלו מקדמים של אותן חזקות. אם נציב $A$ בשני האגפים, עדיין נקבל שוויון. אם כן, נסתכל לפי החזקות:
\begin{tabular}{ c | c | c | c | c | c | c } $-AB_0$ & $AB_0-A^2B_1$ & $A^2B_1-A^3B_2$ & $\cdots$ & $A^{n-1}B_{n-2}-A^nB_{n-1}$ & $A^nB_{n-1}$ & לאמש\\\hline $a_0I$ & $a_1A$ & $a_2A^2$ & $\cdots$ & $a_{n-1}A^{n-1}$ & $A^n$ & ןימי \end{tabular}
נשים לב כי אם נסכום את השורות, יהיה שוויון. הסכום של השורה העליונה (אגף שמאל) מתאפס, ואילו הסכום של השורה התחתונה (אגף ימין) הינו $p_A\left(A\right)$.
בסך הכל, $p_A\left(A\right)=0$.
\end{proof}
\begin{remark}
לכאורה, ניתן להוכיח את המשפט באופן הבא: נסתכל על $p_A\left(x \right )=\det\left(xI-A\right)$, ונציב $A$. נקבל $$p_A\left(A \right )=\det\left(AI-A\right)=\det\left(0 \right )=0$$ נציג שני נימוקים שבגללם הוכחה זו נכשלת.
הנימוק האחד הוא שהמטריצה $xI$ אינה סתם הכפלה של $I$ בסקלר; היא מסמלת מטריצה שעל האלכסון הראשי שלה מופיע $x$, ובשאר המקומות אפס. אם כן, הצבת $A$ במקום $x$ תאמר שהמטריצה $AI$ מסמלת מטריצה שבה $A$ על האלכסון בבלוקים ובשאר אפסים? החיסור לא יוגדר!
הנימוק השני הוא טכני - כפי שהוגדר, כשמציבים מטריצה בפולינום, מתקבלת מטריצה. עם זאת, בשיטה זו קיבלנו מספר...
\end{remark}