הבדלים בין גרסאות בדף "נקודת פיתול"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. a נקראת נקודת פיתול קיימת סביבה שלה כך שבצד אחד...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
==הגדרה== | ==הגדרה== | ||
− | תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. | + | תהי <math>f</math> פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <math>a</math> . |
− | a נקראת נקודת פיתול קיימת סביבה שלה כך | + | <math>a</math> נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של <math>a</math> הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- <math>a</math>, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו. |
==מציאת נקודות פיתול== | ==מציאת נקודות פיתול== | ||
נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן [[סיווג נקודה חשודה|חשודות]] לפיתול, ויש [[סיווג נקודה חשודה|לסווג]] אותן. | נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן [[סיווג נקודה חשודה|חשודות]] לפיתול, ויש [[סיווג נקודה חשודה|לסווג]] אותן. | ||
− | '''משפט | + | '''משפט:''' |
− | תהי f גזירה פעמיים | + | תהי <math>f</math> גזירה פעמיים בסביבת <math>a</math> כך שמצד אחד של <math>a</math> הנגזרת השנייה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי <math>a</math> נקודת פיתול של <math>f</math>. |
− | '''הוכחה | + | '''הוכחה:''' |
לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] מתקיים: | לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] מתקיים: | ||
− | + | :<math>f(x)=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2</math>. | |
+ | ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו | ||
− | + | :<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)\cdot (x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2</math> | |
− | + | כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>ש</math>, קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> | |
− | + | ||
− | + |
גרסה מ־23:58, 26 בינואר 2016
הגדרה
תהי פונקציה ממשית הגזירה בנקודה .
נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- , ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.
מציאת נקודות פיתול
נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן חשודות לפיתול, ויש לסווג אותן.
משפט: תהי גזירה פעמיים בסביבת כך שמצד אחד של הנגזרת השנייה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי נקודת פיתול של .
הוכחה:
לפי טיילור מתקיים:
- .
ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה הנו
כיון שהנקודה נמצאת בין ו- עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): ש , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן הנה נקודת פיתול כפי שרצינו.