הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 6 תשעז"
(←המשך קבוצות) |
(←תרגיל) |
||
שורה 36: | שורה 36: | ||
===תרגיל=== | ===תרגיל=== | ||
− | לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> נגדיר | + | לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> נגדיר <math>A_n=\{k\in \mathbb{N}|2\leq k\leq 2n-1\}</math> ונגדיר <math>B_n=A_{n+1}\smallsetminus A_n</math>. |
+ | |||
+ | א. מצאו את <math>\cup_{n\in \mathbb{N}} B_n</math> | ||
==קבוצת החזקה== | ==קבוצת החזקה== |
גרסה מ־18:46, 25 בנובמבר 2017
חזרה לדף מערכי התרגול.
תוכן עניינים
המשך קבוצות
משלים
הגדרה: תהי קבוצה , ונביט בתת קבוצה שלה . ניתן להגדיר את המשלים של כאוסף האיברים ב- שאינם ב- (כלומר ההפרש ), המסומן . לא ניתן לדבר על משלים אוניברסלי ללא מכיוון שאין קבוצה המכילה את כל הדברים בעולם (אחרת נגיע לסתירות כמו פרדוקס ראסל).
תכונות בסיסיות:
על המשלימים מתקיימים חוקי דה מורגן (הנובעים ישירות מחוקי דה מורגן בלוגיקה):
הערה: באופן כללי מתקיים
תרגיל
הוכיחו כי .
פתרון
נשתמש בהצגת ההפרש הסימטרי כאיחוד ההפרשים:
ומחילופיות "וגם" ו"או":
תרגיל
לכל נגדיר ונגדיר .
א. מצאו את
קבוצת החזקה
הגדרה: תהי קבוצה . נגדיר את קבוצת החזקה של בתור אוסף כל תת הקבוצות של . נסמן .
דוגמה: נבחר אזי .
האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה.
תרגיל
הוכיחו או הפריכו:
א.
ב.
פתרון
א. הוכחה: .
ב. הפרכה: ניקח .
תרגיל ממבחן
תהינה קבוצות. הוכיחו או הפריכו:
א. אם אזי
ב. אם אזי
ג. אם אזי
פתרון
א. הפרכה: . אזי ברור ש- איננה מוכלת בחיתוך אבל .
ב. נתון שלכל מתקיים . אזי
כעת, הצד הימני הוא טאוטולוגיה וניתן להסיר אותו. מכיוון שנתון ניתן להסיק בקלות ש-, כפי שרצינו.
דרך נוספת: נגדיר את להיות הקבוצה האוניברסאלית ואז צריך להוכיח כי וזה אכן נכון!
ג. נניח בשלילה ש-. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה, החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה השייכת לחיתוך . קבוצות החזקה הן אוסף תת הקבוצות, ולכן . מכיוון ש- אינה ריקה קיים בה איבר וקל לראות ש- ולכן מוכל בחיתוך, בסתירה לכך שהחיתוך ריק.