חדוא 2 - ארז שיינר

88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2

תקציר ההרצאות

פרק 1 - האינטגרל הלא מסויים

• הגדרה: F נקראת פונקציה קדומה של f בקטע A אם לכל נקודה בקטע מתקיים כי $F^{\prime }=f$

• האינטגרל הלא מסויים $\int f(x)dx$ מסמן פונקציה קדומה של f.

• תהי F קדומה של f, אזי קבוצת כל הקדומות של f שווה ל$\{F+c|c\in \mathbb{R}\}$

• אינטגרלים מיידיים ידועים לנו מנוסחאות הגזירה.

שיטות למציאת קדומה

• תהיינה f,g פונקציות בעלות קדומות, אזי:
  • $\int (cf)=c\int f$
  • $\int (f+g)=\int f+\int g$

אינטגרציה בחלקים

$\int f^{\prime }g=fg-\int f{g}^{\prime }$

פונקציה רציונאלית

• הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים

• פירוק לשברים חלקיים

• חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי
  • נסמן $I_n=\int \frac{1}{(1+t^2{)}^n}dt$
  • אזי $I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2{)}^n}+(1-\frac{1}{2n})I_n$

כאשר תנאי ההתחלה הוא $I_1=\arctan (t)$

פרק 2 - האינטגרל המסויים

סכומי דרבו ואינטגרל עליון ותחתון

• $m(b-a)\le \underset{―}{S}(f,P)\le \bar{S}(f,P)\le M(b-a)$

• תהי חלוקה $P$ ותהי העדנה שלה $R=P\cup \{a\}$
• $0\le \bar{S}(f,P)-\bar{S}(f,R)\le \lambda (P)(M-m)$
• $0\le \underset{―}{S}(f,R)-\underset{―}{S}(f,P)\le \lambda (P)(M-m)$

• $\underset{―}{S}(f,P)\le \underset{―}{{\int }_a^b}f(x)dx\le \overline{{\int }_a^b}f(x)dx\le \bar{S}(f,P)$