משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/15.3.11
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
שיטות אינטגרציה (המשך)
דוגמה נוספת ל- (לא עלינו):
יש הצבה אוניברסלית: מציבים לכן וכן ו-. האינטגרל הופך לאינטגרל של פונקציה רציונלית של t (שאפשר לחשב עם שברים חלקיים).
דוגמאות
- : נציב t כנ"ל ונקבל ומכאן פותרים בשברים חלקיים.
גישה יותר חכמה: מתקיים ולכן נגדיר . האינטגרל הוא . שוב פותרים שברים חלקיים, אלא שהפעם זה יותר פשוט. - ועם נקבל גישה אחרת: נציב והאינטגרל הוא .
דרך המלך: . - נציב ונקבל וניתן לעשות זאת, אבל זה לא נעים.
דרך אחרת: ונציב . נקבל וקל לפתור זאת ע"י שברים חלקיים.
עוד דרך: נציב ושוב הגענו ל-.
ניסיון אחרון:
אינטגרלים עם שורשים
לאינטגרל מהסוג . תועיל הצבה:
דוגמאות
- נציב אזי נקבל ופותרים בשברים חלקיים.
דרך אחרת: (כי טור הנדסי). לפי זה נקבל - נציב ואז וכך לכן נציב ואז ופותרים בשברים חלקיים.
לאינטגרלים מהסוג עבור :
- אם אז תועיל הצבה (כאשר הוא המספר הגדול ביותר עבורו ). למשל, עבור נציב ונקבל , שהוא אינטגרל של פולינום.
- אם אז תועיל הצבה עבור q המכנה של p. לדוגמה, ל- נציב ונקבל .
דוגמאות נוספות
- נציב ונקבל
- עבור קבוע: נציב ונקבל
- עבור קבוע: נציב ונקבל
בחזרה לאינטגרל המסויים
כזכור, אם f רציפה ב- אז קיימת לה פונקציה קדומה F בקטע זה, ומתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ .
אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים
כזכור מתחילים עם הזהות ונקבל . נעביר אגף לקבל . בכל אינטגרציה בחלקים באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:
- להתעלם מהגבולות עד שנמצא פונקציה קדומה באינטגרל לא מסויים, ובסוף נחזיר את הגבול.
- להשתמש בנוסחה הנ"ל.
דוגמאות
גם באינטגרציה ע"י הצבה באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:
- להתעלם מהגבולות ולפתור אינטגרל מסויים, ואח"כ להציב גבולות.
- להחליף את הגבולות כאשר מחליפים משתנים. נסביר זאת:
בהצבה מתחילים עם כלל השרשרת (כאשר F קדומה ל-f). לכן נציב ונקבל .