חוג הפולינומים מעל שדה
מתוך Math-Wiki
הגדרה
יהי שדה. ביטוי פורמלי מהצורה
כאשר
ו-
נקרא פולינום במשתנה
מעל
. האיברים
נקראים מקדמי הפולינום.
נניח כי אנו נאמר כי שני פולינומים
הם שקולים אם
עבור
ו-
עבור
. מעכשיו, כאשר נדבר על פולינום נתכוון בעם למחלקת השקילות של כל הפולינומים השקולים לו. עדיף לא לחשוב על זה.
כל פולינום שאינו פולינום ה-0 (פולינום שכל מקדמיו הם 0) שקול לפולינום יחיד
עם
. המספר
נקרא דרגת הפולינום ומסומן ב-
. מעלת פולינום ה-0 מוגדרת לעיתים להיות
.
הערה: כל פולינום משרה פונקציה מ-
לעצמו ששולחת את
ל-
. אם השדה
סופי, ייתכן כי שני פולינומים שונים ישרו אותה פונקציה.
אוסף הפולינומים מעל במשתנה
יסומן ב-
.
מגידירים על
חיבור וכפל על ידי הנוסחאות:
-
(אם דרגת הפולינומים שמחברים לא שווה החליפו אותם בפולינומים שקולים עם אותה דרגה.)
-