פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4
השאלה: נניח שלמטריצות יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.
פתרון: אני מאמין שיש פיתרון אלגנטי יותר, אבל כאן יש שימוש בצורת ג'ורדן - אז למה לא?
סימונים:
הפולינום האופייני של המטריצה A
הפולינום המינימלי של המטריצה A
צורת הג'ורדן של המטריצה A
בלוק ג'ורדן מסדר m המתאים לערך העצמי
אנו יודעים שrank(A)=3 ולכן גם
נפצל את הפתרון לכמה מקרים:
אם ל שלושה שורשים שונים, כלומר שלושה ע"ע שונים.
אז לפי משפט, שתי המטריצות לכסינות ודומות למטריצה מהצורה:
ולכן דומות בניהן.
אם ל שורש אחד, כלומר ע"ע אחד
אז (כאשר למדא הוא הע"ע) הן מטריצות נילפוטניות שגם עבורן מתקיים:
לכן מספיק להראות שעבור כל פ"מ שנבחר יש צורת ג'ורדן אפשרית יחידה ששתי המטריצות יהיו דומות לה:
ניעזר בעובדה שהדרגה של הפ"מ, היא אינדקס הנילפוטנטיות של המטריצה, שהוא הגודל של הבלוק הגדול ביותר בצורת הג'ורדן.
אם אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 1 ולכן:
אם אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 2 ונותר מקום רק לבלוק ג'ורדן מגודל 1 ולכן:
אם אז גודל הבלוק הגדול ביותר הינו 3 (והוא בעצם כל צורת הג'ורדן):
בסה"כ הראנו שבכל מצב למטריצות אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות.
מכאן, קיימת הפיכה כך שמתקיים:
ובסה"כ הראנו שהמטריצות A וB דומות.
אם ל שני שורשים אז בהכרח מתקיים:
וגם,
או
נראה שוב, שלמטריצות אותה צורת ג'ורדן עבור שני המקרים הללו:
מקרה 1:
צורת הג'ורדן של המטריצה הנ"ל הינה סכום ישר של צורות ג'ורדן של שתי המטריצות המקיימות את התנאים הבאים:
מטריצה כזו הינה מהצורה:
והבלוק השני מגודל 1 הינו מהצורה
ובסה"כ צורת הג'ורדן של המטריצה הינה:
הראנו שמדובר באותה צורת ג'ורדן ולכן המטריצות A וB דומות.
מקרה 2:
במקרה זה הבלוקים הנוצרים (באופן זהה) הינם: ו-
ולכן צורת הג'ורדן של המטריצה הינה:
בסה"כ, במקרה זה לA וB אותה צורת ג'ורדן ולכן הן דומות.
לסיכום, הראנו שבכל מצב אפשרי המטריצות A וB דומות ומכאן שהן דומות.
מ.ש.ל.