פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3
ידוע שמטריצות דומות <=> צורת ז'ורדן שלהן זהה. נראה של A,B יש צורת ז'ורדן שונה, ולכן הן אינן דומות:
נז'רדן את :
נמצא פ"א:
שכן דטר' של מטר' משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי.
כעת, ולכן נילפוטנטית מסדר 2, והפ"מ שלה הוא .
דרגת המטריצה היא 2 (מס' השורות הלא אפסיות, אחרי שמחליפים שורות והיא הופכת למטריצת מדרגות), והיא נילפוטנטית, ולכן הוא מס' הבלוקים בצורת ז'ורדן. לכן צורת ז'ורדן של היא
.
כעת נז'רדן את :
נמצא פ"א:
כעת נמצא את אינדקס הנילפוטנטיות של B, ובכך גם את הפ"מ שלה:
ואילו
ולכן B נילפ' מאינדקס 3, והפ"מ שלה הוא .
לכן בצורת ז'ורדן של יופיע בלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3, והמטריצה היא מסדר 4; לכן צורת ז'ורדן של A היא .
קיבלנו שצורות ז'ורדן של שתי המטריצות הנתונות שונות, ולכן הן אינן דומות.
מש"ל סעיף א'.
סעיף ב': ידוע מלינארית 1 שמתקיים , כאשר המ"ו שעליו פועלת הטרנספורמציה A ()
ולכן .
ידוע גם =מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של A, כלומר 2.
כמו כן שכן מסתכלים על A כעל הע"ל מהמרחב לעצמו.
לכן בסה"כ .
באופן דומה עבור , מתקיים , ולכן .
ידוע גם =מספר השורות הלא אפסיות בצורה המדורגת של B, כלומר 2.
כמו כן שכן מסתכלים על B כעל הע"ל מהמרחב לעצמו.
לכן בסה"כ .
(ידוע ש-A היא המטריצה המייצגת של הטרנספורמציה המוגדרת בעזרתה וכו' - כל זה מלינארית 1, אין צורך לפרט)
לסיכום, קיבלנו . מש"ל!