88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 2

שאלה 1

א

תהי פונקציה f כך שיש לה פונקציה קדומה F בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. הוכח/הפרך: f אינטגרבילית בקטע.

ב

תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq [0,1] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |A|=\aleph_0 }[/math]. תהיי

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0 & x\notin A\\1 & x\in A\end{cases} }[/math]

הוכח שf אינה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] או הבא דוגמא לקבוצה A עבורה f כן אינטגרבילית בקטע.

ג

תהי f פונקציה אי שלילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \int_a^b{f(x)dx}=0 }[/math]. הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ f\equiv 0 }[/math] בקטע

ד

תהי f פונקציה רציפה אי שלילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \int_a^b{f(x)dx}=0 }[/math]. הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ f\equiv 0 }[/math] בקטע

ה

תהי f פונקציה רציפה כך שלכל פונקציה רציפה g מתקיים [math]\displaystyle{ \int_a^b{f(x)g(x)dx}=0 }[/math] הוכח/הפרך: [math]\displaystyle{ f\equiv 0 }[/math] בקטע

שאלה 2

א

הוכיחו כי קיים גבול לסדרה

[math]\displaystyle{ a_n=\sum_{k=1}^{2^n}sin\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n}}\Big)cos\Big(\frac{k}{2^{2n-1}}\Big)\cdots cos\Big(\frac{k}{2^{n+1}}\Big) }[/math]

ב

חשבו את גבול הסדרה

[math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^nke^{\frac{k^2}{n^2}} }[/math]

שאלה 3

חשבו את האינטגרלים הבאים:

א

[math]\displaystyle{ \int_{-1}^{1}\sqrt{(1-x^2)^3}dx }[/math]

ב

[math]\displaystyle{ \int_0^{ln2}\sqrt{e^x-1}dx }[/math]

ג

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt }[/math] כאשר f פונקציה רציפה כלשהי והפונקציות h,g גזירות.

שאלה 4

תהי f פונקציה רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. הוכיח כי קיימת נקודה c בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] עבורה מתקיים

[math]\displaystyle{ f(c)(b-a)=\int_a^bf(x)dx }[/math]

שאלה 5

תהי f גזירה ברציפות. הוכח כי

[math]\displaystyle{ \lim_{a\rightarrow\infty}\int_a^bf(x)sin(ax)dx=0 }[/math]