חשבון אינפיניטיסימלי 2 - פתרון מועד א תשע"ג
תוכן עניינים
שאלה 1
שאלה 1 הייתה שאלת הוכחה מההרצאה. הוכחה 4 פה: הוכחות משפטים למבחן
שאלה 2
סעיף א
נציב ואז
לאחר הצבה נקבל
סעיף ב
על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש
אז נתמקד בחישוב
לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש
כלומר קיבלנו מערכת משוואות
וקל לראות שהפתרון שלה הוא:
ברור ש
נותר לחשב את
לפי השלמה לריבוע
נבצע הצבה (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם
ולכן
אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא
ואם מסדרים את זה יוצא
סעיף ג'
פתרון של הלל סנהדראי: הפתרון
שאלה 3
סעיף א
צריך לבדוק אם מתכנס או מתבדר.
הצעה לפתרון: ננסה לחשב את . נסתכל על . ע"י החלפת משתנים נקבל
קיבלנו . ניתן לראות ע"י אינטגרציה בחלקים () כי האינטגרל הוא ולכן מתקיים:
וזה כמובן לא מתכנס ולכן האינטגרל מתבדר
סעיף ב
צריך לבדוק אם מתכנס או מתבדר.
הצעה לפתרון: ניעזר בהצבה , לכן , כלומר . במקרה זה בתחום גם כן. לכן:
, והאינטגרל שהתקבל מתכנס על פי דיריכלה.
שאלה 4
הפרכה: ניקח את וההתכנסות היא במ"ש (קל להוכיח).
עוד פונקציה שמפריכה היא כאשר היא פונקציית דיריכלה. זאת אומרת,
שאלה 5
סעיף א'
קודם כל, נראה כי וקיבלנו טור חזקות כיוון ש- קבוע וכפל בקבוע לא משנה התכנסות או התבדרות של טור.
כעת נסתכל על החלק של טור החזקות בלבד. ניתן לחשב את רדיוס ההתכנסות שלו לפי דלאמבר:
כעת, נשאר לנו רק לבדוק התכנסות ב- . ניתן לראות בקלות שהאיבר הכללי של הסדרה לא ישאף ל-0 ב-2 המקרים האלה ולכן תנאי הכרחי להתכנסות של טור לא מתקיים. ניתן להסיק שהטור מתכנס אם ורק אם
סעיף ב'
דבר ראשון, נפרק את הפונקציה באופן הבא: . כעת נזכור כי והפעולה של החלפת הנגזרת והסכום חוקית כיוון שהטור ההנדסי מתכנס במ"ש.
ולכן, ו-
לכן ניתן להגיע לכך ש- . כעת כל מה שנישאר זה קצת לשחק עם המקדמים והמשתנים ככה שיצא טור מקלורן. (יש לשים לב שהמקדמים של הטור יהיו 1,1,2,2,3,3... ולכן נשתמש ב- ceil או floor לתאר את המקדמים)
- הצעה אחרת לפתרון ל-5ב כאן
- אפשר לפתור את התרגיל הזה גם בגישה ישירה:
ידוע ש:
ולכן
ומכאן קל לראות שהמקדמים צריכים להיות וכו'
שאלה 6
נזכור כי הנוסחה לחישוב אורך עקומה של בקטע היא ולכן אנחנו מחפשים את .
מתקיים: .
כמו כן, .
נראה כי ולכן ולא צריך לדאוג לגבי הסימן של המכנה.
נרצה לחשב כעת את