אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג/פתרון הבוחן
שאלה 1
לפי כפל עמודה עמודה קל לראות שמחפשים 3 עמודות
שמקיימות
כך שקיבלנו 3 משוואות, כל אחת בשני נעלמים.
אם נפתור את המשוואה הראשונה
נראה שיש משתנה חופשי אחד (ואין שורות סתירה) ולכן יש פתרונות.
אותה הדבר קורה בשביל שאר המשוואות ולכן בסך הכל יש
פתרונות.
שאלה 2
היא מטריצה הפיכה, ולכן הצורה המדורגת קנונית שלה היא .
אם נסמן ב את המטריצות האלמנטריות המתאימות לפעולות הנתונות. אז בעצם
ולכן
כלומר, אם נבצע את הפעולות ההפוכות בסדר הפוך על , נגיע ל .
הפעולות ההפוכות בסדר הפוך הן:
ולכן קל לחשב ש
היות ו
נקבל ש
כלומר צריך לבצע את הפעולות האלה על כדי להגיע ל
לכן קל לחשב ש
היות ו נקבל ש
כלומר הפעולות שצריך לעשות כדי לדרג את הן הפעולות שהפוכות לפעולת הכתובות בסדר הפוך כלומר:
(זאת כמובן לא הדרך היחידה להביא את לצורה מדורגת קנונית, אבל זאת הדרך הכי פשוטה.)