קשר בין לכסינות לבין הפולינום המינימלי

משפט

[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה [math]\displaystyle{ \iff }[/math] הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה [math]\displaystyle{ m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \lambda_1,...,\lambda_k }[/math] הע"ע השונים של [math]\displaystyle{ A }[/math]

הוכחה

[math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה ולכן קיים בסיס של ו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] נקרא לו [math]\displaystyle{ B=\{v_1,...v_n\} }[/math]. ברור שהפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ A }[/math] חייב להכיל את הגורמים האי פריקים [math]\displaystyle{ t-\lambda_i }[/math] לכל הע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. לכן אם הפולינום [math]\displaystyle{ p(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k) }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ p(A)=0 }[/math] אזי הוא הפולינום המינימלי (בוודאי אין פולינום קטן ממנו...)

אנו יודעים שעבור כל [math]\displaystyle{ v_i }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \lambda_j }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ Av_i=\lambda_j v_i }[/math]. מה הערך של [math]\displaystyle{ (A-\lambda_r)v_i }[/math] עבור [math]\displaystyle{ r\neq j }[/math]?

[math]\displaystyle{ (A-\lambda_r)v_i = \lambda_j v_i - \lambda_r v_i = (\lambda_j - \lambda_r)v_i }[/math]

הבה נסתכל ב [math]\displaystyle{ p(A)v_i }[/math]:

[math]\displaystyle{ p(A)v_i=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)\cdots(A-\lambda_kI)v_i=(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)(\lambda_j-\lambda_{j+1})\cdots(\lambda_j-\lambda_k)v_i= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(\lambda_j-\lambda_{j+1})\cdots(\lambda_j-\lambda_k)(A-\lambda_1I)\cdots(A-\lambda_jI)v_i }[/math]

אבל [math]\displaystyle{ (A-\lambda_jI)v_i=0 }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ p(A)v_i=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ v_i \in B }[/math]

[math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס ולכן כל וקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי [math]\displaystyle{ B }[/math]:

[math]\displaystyle{ v=\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ p(A)v=p(A)\sum_{i=1}^{n}\alpha_iv_i=\sum_{i=1}^{n}\alpha_ip(A)v_i=0 }[/math]

אם [math]\displaystyle{ p(A)\neq 0 }[/math] אז קיימת לה עמודה [math]\displaystyle{ j }[/math] שונה מאפס, אזי [math]\displaystyle{ p(A)e_j=C_j(p(A))\neq 0 }[/math]. אבל ראינו ש [math]\displaystyle{ \forall v \in V :p(A)v=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ p(A)=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ p=m_A }[/math].

[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]

קודם כל הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ A }[/math] מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן כך גם הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math].

[math]\displaystyle{ n_i }[/math] כלומר החזקה של הגורם [math]\displaystyle{ t-\lambda_i }[/math] בפולינום המינימלי שווה לאחד עבור כל אחד מהע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. לכן לפי משפט הקיום והיחידות של ז'ורדן הבלוק המקסימלי של כל ע"ע בצורת הז'ורדן של [math]\displaystyle{ A }[/math] הוא מגודל אחד. כלומר [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה (כי היא סכום ישר של מטריצות בגודל [math]\displaystyle{ 1\times1 }[/math] ).