88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11
תוכן עניינים
דטרמיננטות
הגדרה הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית היא סקלר
המחושב מסכומים של מכפלות של אברי המטריצה.
חישוב דטרמיננטה של מטריצות קטנות
- הדטרמיננטה של מטריצה מסדר 1
היא הערך היחיד במטריצה
.
- הדטרמיננטה של מטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{a&b\\ c&d} \in F^{2\times 2}
היא.
למשל: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): det\pmatrix{1&2\\ 3&4} = 1\cdot 4-2\cdot 3=-2 .
חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)
סימון עבור מטריצה נסמן ב
את המטריצה מגודל
המתקבלת מ
ע"י מחיקת השורה ה
והעמודה ה
. זה נקרא המינור ה
של המטריצה.
דוגמא: עבור עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} למשל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9}
עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8}
אפשר למצוא את הדטרמיננטה בעזרת הדטרמיננטות של המינורים (לפי שורה או לפי עמודה), וכך באינדוקציה למצוא דטורמיננטה של כל מטריצה.
מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי השורה ה:
מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי העמודה ה:
לדוגמא:
עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}
נפתח לפי השורה הראשונה:
נפתח גם לפי העמודה השנייה:
תכונות של הדטרמיננטה
1. כפליות .
2. בפרט .
3. .
4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?).
5. אם הפיכה אז
.
6. הפיכה אם"ם
.
למשל המטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}
איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס.
שימו לב שאין בהכרח קשר בין לבין
. (דוגמא?)
תרגיל
נתונות מטריצות כך ש
. חשבו את
.
פתרון
תרגיל
תהי עם דטרמיננטה
. מצא את
.
פתרון
עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): |2B|=|2I\cdot B|=|\pmatrix{2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2}|\cdot |B|=2^3 \cdot (-1)
בהכללה: .
שיטת הדירוג
טענה תהי מטריצה המתקבלת ממטריצה
ע" פעולת שורה, אזי:
1. אם התקבלה ע"י כפל של אחת השורות ב
אזי
.
2. אם התקבלה ע"י החלפת שתי שורות אזי
.
3. אם התקבלה ע"י הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת אזי
.
אם כן, נוכל לחשב דטרמיננטה ע"י דירוג המטריצה עד לצורה משולשית עליונה, ולעקוב אחר השינויים בדטרמיננטה.
דוגמא
דוגמא עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \vmatrix לא מוכרת): \vmatrix{\alpha &1&1&\dots&1\\1&\alpha &1&\dots &1 \\ 1&1&\alpha &\dots &1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ 1&1&1&1& \dots & \alpha}