תרגול 11 תשעז
חזרה לדף מערכי התרגול.
יחסי שקילות - תרגילים נוספים
תרגיל
תהא קבוצה ותת קבוצה. נגדיר יחס ע"י . הוכיחו:
א. זהו יחס שקילות.
ב. לכל קיימת כך ש .
ג. אם שונות, אז .
פיתרון
א. רפלקסיביות: כמובן ש- , ולכן .
סימטריות: נניח אזי , ולכן .
טרנזיטיביות: נניח אזי ומטרנזיטיביות יחס השיוויון נקבל הדרוש.
ב. יהי נשים לב שמתקיים ולכן , ובנוסף מתקיים ולכן נוכל לבחור .
ג. תהיינה שונות. לכן קיים (בה"כ) וכמובן , ולכן נקבל כלומר ולכן .
שאלה ממבחן
א. תהי קבוצה לא ריקה ותהי משפחה של יחסי שקילות על . הוכיחו כי החיתוך הכללי הינו יחס שקילויות על .
ב. נסמן . מהם ? מהן קבוצות המנה ?
פתרון
א. רפלקסיביות: מאחר ו- נובע ש-.
סימטריות: נניח לכן ולכן נובע מסמטריות היחסים ש ולכן .
טרנזיטיביות: נניח אזי , וכיון שהוא יחס שקילות אז נובע , ולפי הגדרת החיתוך הכללי נקבל
ב. הינו אוסף כל הזוגות הסדורים מעל השלמים, שכן אחד מחלק כל מספר ולכן כל הפרש.
הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.
הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן הינו אוסף הזוגות מהצורה עבור מספר שלם. (יחס השיוויון).
הינו אוסף מחלקות השקילות של היחס המכיל את כל הזוגות. יש בו רק מחלקת שקילות אחת המכילה את כל המספרים השלמים.
מכיל שתי קבוצות, קבוצת הזוגיים וקבוצת האי זוגיים שכן בין כל הזוגיים יש את היחס, ובין כל האי זוגיים ולא בין לבין כמובן (הרי זה יחס שקילויות כפי שקל להוכיח).
הינו אוסף כל הקבוצות המכילות איבר שלם בודד.