משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11
נושא ראשון:
אינטגרציה
הערה: האינטגרל הוא לא שטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח מתחת לגרף מוגדר לפי האינטגרל.
תוכן עניינים
דוגמת חישוב (ידני) של שטח שמתחת לגרף
נתון הגרף (1) של y=x2. נחשב את השטח שמתחת לו. לצורך כך נחשב תחילה את השטח של המלבנים הגדולים והמלבנים הקטנים (החוסמים והחסומים).
ברור שסכום שטחי המלבנים גדול משטח הגרף. נחלק את הקטע :
![0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1](/images/math/b/5/a/b5a2d46d7dc9219f3515357b15273917.png)
(באופן כללי )
מעל כל תת קטע קטן נבנה "מלבן חוסם" שגובהו
. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם
כמו כן, מעל כל קטע קטן נבנה "מלבן חסום" שגובהו
ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום
כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-, ז"א
. הדבר נכון לכל
ולכן נוכל להשאיף את
ולקבל
, לכן
.
הגדרה: תהי מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה
קדומה ל-f ב-I אם
.
דוגמה: אם אז
.
משפט 0
אם ו-
קדומות ל-
בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-
הוכחה
נגדיר ולכן
. לפי תוצאה ממשפט לגרנג'
.
הגדרה: תהי רציפה בקטע
. נסמן ב-
את השטח שמתחת לגרף.
המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית)
תהי מוגדרת ורציפה ב-
.
- לכל
נגדיר
אזי
.
- אם
קדומה ל-
ב-
אז
.
הוכחה
- גרף (3). רואים ש-
וננסה להוכיח ש-
. יהי x נתון. כעת לפי ההגדרה
. בציור:
= שטח הארובה,
= בסיס הארובה, לכן
= הגובה הממוצע של הארובה. לכן
= הגובה הממוצע כאשר
=
.
- נתונה פונקציה קדומה
. מחלק 1 ידוע גם ש-
פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-
. לכן
.
האינטגרל לפי דרבו
הקדמה - הגדרות
תהי מוגדרת וחסומה ע"י
ו-
בקטע
. נגדיר את התנודה של f ע"י
. כעת נגדיר חלוקה P של
:
![a=x_0<x_1<\dots<x_n=b](/images/math/b/9/e/b9e3e69b8b589784847d68a65a5a365a.png)
עוד נגדיר לכל את אורך תת קטע מספר k להיות
ואת הפרמטר של P להיות
.
לכל k כך ש- נגדיר
וכן
.
גרף (4).
בהתאם לכך נגדיר:
- שטח חוסם - הסכום העליון:
- שטח חסום - הסכום התחתון:
משפט 1
בסימונים הנ"ל, עבור כל חלוקה P מתקיים .
הוכחה
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|||
לכל k מתקיים ![]() |
![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
|||||
![]() |
![]() |
נשים לב כי לפי משפט 1 המספרים חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" ו"האינטגרל התחתון"
.
הגדרת האינטגרל לפי דרבו
תהי מוגדרת וחסומה ב-
. נאמר ש-f אינטגרבילית לפי דרבו ב-
אם
ואם הם שווים אז נגדיר
להיות הערך המשותף של
ו-
.
דוגמה
בקטע כלשהו נגדיר את פונקצית דיריכלה
.
נקח חלוקה כלשהי ל-
:
.
לכל k מתקיים וכן
. לכן
ואילו
.
מכאן ו-
. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית.
הגדרה: תהי P חלוקה של קטע . חלוקה Q של
נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
משפט 2
תהי מוגדרת וחסומה ב-
. תהי P חלוקה של
ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז
(נזכיר ש- ו-
)
כלומר, הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-.
הוכחה
מקרה ראשון: . ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת
כך ש-
עבור i כלשהו. בהתאם לכך נגדיר
ו-
.
כמו כן, לא שינינו כל תת קטע
עבור
כלשהו. לכן
![M_i\ge M_i^+,M_i^-](/images/math/5/a/d/5ad6ab75cacd62d937abe01524042397.png)
![\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\ge M_i\Delta x_i-\Big(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i'-x_{i-1}+x_i-x_i')\Big)\\&=M_i\Big(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1})\Big)\\&=0\end{align}](/images/math/f/c/2/fc2cbee324ae96e1814e2cc8dc0ed399.png)
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
כמו כן,
![\begin{align}\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)&\le M_i(x_i-x_{i-1})-m_i(x_i-x_{i-1})\\&=(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})\\&\le\Omega(x_i-x_{i-1})\\&\le\underbrace{r}_{=1}\lambda(P)\Omega\end{align}](/images/math/0/0/f/00f9ae8a280bdec41cdd15d8b04f28d7.png)
מקרה כללי: Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת r נקודות. נוסיף אותן אחת אחת. הסכום העליון יורד, אבל לא יותר מאשר בכל אחת מ-r המפעמים. לכן מיד נסיק
.
ההוכחה לסכום תחתון דומה.
מסקנה 1
נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלשהן של . אזי
.
הוכחה
נבנה עידון משותף, ז"א . לפי משפט 2 מתקיים
.
מסקנה 2
עבור f כנ"ל מתקיים .
הוכחה
מסקנה 1 אומרת שלכל שתי חלוקות P,Q של מתקיים
ולכן
. כמו כן, לפי ההגדרה
ו-
.