משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.2.11
תוכן עניינים
אינטגרל לפי רימן
הגדרה: יהי קטע סגור. נסמן את
כחלוקה
ונקרא ל-T חלוקה. נסמן
כאשר
.
הגדרה: תהי f פונקציה המוגדרת ב- ותהי T חלוקה של הקטע. עבור כל תת קטע
נבחר נקודה
ונבנה סכום מהצורה
. סכום זה נקרא סכום רימן של f והוא תלוי ב-
וב-
.
הגדרה: פרמטר החלוקה של T מוגדר כ-.
הגדרה: תהי סדרת חלוקות של הקטע
. נאמר כי
נורמלית אם
.
הגדרה: נאמר כי סכומי רימן שואפים לגבול I כאשר אם לכל
קיימת
כך שלכל חלוקה T עבורה
מתקיים
.
דוגמה 1
נמצא פונקציה לא אינטגרבילית. דוגמה קלאסית לכך היא פונקצית דיריכלה - לכל חלוקה נורמלית שנבחר תהיה נקודה רציונלית ונקודה אי-רציונלית בתת קטע של
ולכן סכום רימן יכול להיות כל ערך בין 0 ל-
(כולל).
דוגמה 2
קבע אינטגרביליות של f בקטע כאשר
.
פתרון
נוכיח אינטגרביליות לפי רימן. תהי נתונה. צריך להוכיח כי קיימת
כך שלכל חלוקה T, עבורה
מתקיים
. נצייר את הפונקציה:
גרף (1)
אינטואיטיבית, מהגרף ניתן לראות שהשטח מתחת ל-f הוא , כלומר אנו ננסה להוכיח ש-
:
נסמן ב-T את החלוקה של
. נבחר
העדנה של T המקיימת
ונבנה את סכום רימן באופן הבא:
תהי
ותהי
. עבור
, סכומי רימן הם
![\begin{array}{l l l}\sigma&=&\displaystyle\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k
\\&=&\ 2(x_1-\underbrace{x_0}_{=0})+\dots+2(x_i-x_{i-1})
\\&&+0(\underbrace{x_{i+1}}_{=1/3}-x_i)+\dots+0(x_j-x_{j-1})
\\&&+1(\underbrace{x_{j+1}}_{=2/3}-x_j)+\dots+1(\underbrace{x_n}_{=1}-x_{n-1})\\&=&2x_i+1-x_j\end{array}](/images/math/9/6/b/96baba9ab914cc9ba128e249756df3e9.png)
נשים לב כי ולכן
ו-
. כמו כן, לפי הגדרת
, מתקיים
ו-
. מכאן ש-
. נזכיר כי חשדנו ש-
ולכן נבדוק מהו
:
ולכן
. נבחר
ונקבל את הדרוש. לסיכום, ערך האינטגרל הוא 1 ובוודאי ש-f אינטגרבילית.
דוגמה 3
חשב את הגבול .
פתרון
נתבונן בסדרה . כאשר
, קל לראות שמדובר בקטע
. לפי חוקי לוגריתמים אפשר לרשום:
. ברור כי ln אינטגרבילית ב-
ולכן נבחר חלוקה שעבורה
, ואז
.
הערה: את האינטגרל הזה נלמד לפתור בשיעור הבא.
משפט: אם ו-f ו-g אינטגרביליות אז
.
דוגמה 4
קבע האם האינטגרל הנתון בעל ערך חיובי או שלילי: .
פתרון
נסמן קל לראות ש-f חיובית בקטע
ולכן
, כלומר אי-שלילי. נעיר ש-
(שהיא הנקודה המאפסת היחיד של f ב-
) אינה בקטע ולכן התוצאה חיובית.
דוגמה 5
נוכיח כי .
פתרון
נתון כי ולכן
. מכאן ש-
חיובית. נפעיל אינטגרל (צריכים רק את צד שמאל) ונקבל
. התוצאה קטנה מ-7.5 ולכן נחפש חסם אחר:
, לכן
.
דוגמה 6
הוכח כי
פתרון
ננסה למצוא קבועים המקיימים (כי אינטגרל של קבוע אנו יודעים לפתור).
נמצא מינימום ומקסימום. נסמן
ואז
ולכן נקודה החשודה כקיצון היא
:
ולפיכך היא מינימום. לפי וירשטרס נחפש גם בקצוות:
(מקסימום) וכן
. לכן
. לפיכך
ונקבל בדיוק את מה שרשום.