לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

== כותרת שאלה ==

לכתוב מתחתיה את השאלה שלכם, וללחוץ על 'שמירה'.

(אין צורך להרשם לאתר. רק לעקוב אחרי ההוראות הפשוטות...)

ארכיון

ארכיון 1 - שאלות על תרגילים 1-4

ארכיון 2 - שאלות על תרגילים 5-8

שאלות

תשובה לעניין ניקוד הבוחן

אנחנו נבצע בדיקה של הבוחן, ונעשה חושבים, ונפרסם את חלוקת הניקוד.

בינתיים, אני מציע שכל אחד יעבוד על מה שהיה קשה לו בבוחן, כי הרי המטרה העיקרית של הבוחן הינה לאפס אתכם לקראת המבחן. שאלת ההוכחה השנייה מופיעה באתר (ולכן אמרתי לעבור על ההשלמות ותיקונים שהופיעו באתר).

שאלה

לא יהיה תרגיל 9 השבוע נכון?

שאלה

רציתי לדעת מהו אחוז הגשת החובה של הקורס? ובנוסף רציתי לדעת מה קורה אם מישהו ממלא את אחוז ההגשה,ומגיש תרגילים נוספים?יורדים הנמוכים או שפשוט נוספים ציונים לממוצע?

תשובה

אחוז ההגשה טרם נקבע, אך הציונים הנמוכים ירדו כפי שתארת

ארז- מה ההיגיון בזה שעוד לא נקבע אחוז ההגשה? כמדומני, הרעיון בלקבוע אחוז הגשה זה לאפשר לסטודנט לתכנן את הזמן שלו בצורה הטובה ביותר בלי לפגוע לעצמו בציון. אותו דבר לגבי שאלת הניקוד בבוחן- לא היה הרבה יותר הגיוני לקבוע מראש את הניקוד לכל שאלה?

שאלה - תרגיל 10

זה רק אני, או שהשאלות בתרגיל 10 שקבלנו השבוע קשות בצורה משמעותית, שלא לדבר על שאלת ההוכחה הכבדה שנוספה לתרגיל (שאלה 6)?

תשובה

שבוע שעבר לא היה תרגיל, ושבוע לפני זה נתנו תרגיל קל על מנת לתת זמן להתכונן לבוחן. ההוכחה בתרגיל 6 מאד דומה למה שנעשה בכיתה, יש מעט דברים שצריך לחדש בעצמך.

חבל שאתם שוכחים שאנחנו תיכוניסטים

חבל שאתה שוכח שאנחנו בתוכנית רגילה לתואר, ושאנחנו אמורים לעשות אותם תרגילים כמו סטודנטים רגילים.

אני לא מי שכתב את ה'חבל ש...' הראשון, אבל אני חייב להגיב לדבריך - אנחנו אכן בתוכנית רגילה לתואר, אבל כשסיימנו ללמוד את החומר שהיה עלינו ללמוד (בלינארית 2) - התחלנו ללמוד חומר נוסף, שלא בתוכנית, וקבלנו עליו תרגילים. לא שיש לי התנגדות מסויימת, אבל גם ניבחן עליו בעתיד (כך אני נוטה להאמין). הבוחן באינפי, למשל, היה קשה בכמה רמות יותר מהבחנים לדוגמא שפורסמו באתר של ראובן (שהם, בוא לא נשכח, בחנים של 'סטודנטים רגילים' משנים קודמות), ואני בספק אם יהיו יותר מחמישה אנשים בכל התוכנית שיקבלו בבוחן האחרון באינפי מעל 85.

זה שלא קיבלנו תרגיל שבוע שעבר לא אומר שצריך לדחוס תרגיל קשה במיוחד בשבוע אחד שגם ככה עמוס בבוחן קשה באינפי. מעבר לזה אמרתם שתרגיל 9 יהיה רשות, אז בבקשה תלכו קצת לקראתנו ותנו לנו שבוע הארכה יחד עם תרגיל 9..

עוד תשובה

אין כזה דבר "תוכנית רגילה לתואר". באוניברסיטאות שונות ומסלולים שונים הרמות שונות. וכשאתם יוצאים עם תואר של תיכוניסטים זה לא אותו דבר כמו תואר רגיל, בדומה לכך שתואר מתל אביב שונה מתואר מהטכניון וכדומה.

נוסף על כך, לא למדתם חומר בנוסף לתוכנית בלינארית 2 כלל. התוכנית שונתה השנה, וזה לא קרה במקרה לקבוצת התיכוניסטים בלבד.

אני יודע שהתרגיל הזה כבר עבר וממילא קיבלתם דחייה, אבל חשוב לי שתבינו שהתואר הזה צריך לשמור על רמה מסוימת, ובסופו של דבר אתם תבינו שזה לטובתכם.

שאלה

בתרגיל 3 המטריצות O1 ו - O2 אורתוגונליים זה לזה?? ועוד שאלה

בתרגיל 4 - ניתן לעשוץ פירוק פולרי ע"פ מטריצות בלוקים מסדר 2X2 ואז לחבר אותם ל 4X4 או שזה לא עובד?

תשובה

לא, הן מטריצות אורתוגונליות (כל אחת בפני עצמה).

לגבי 4, אני לא בטוח לגמרי מה הכוונה...

שאלה

בשאלה 2, ההוכחה היא לגבי אופרטורים ב-R?

תשובה

רשום בשאלה שמדובר באופרטורים במ"ו מעל R

שאלה בנוגע לתרגיל 3

יכול להיות שחסר נתון?

תשובה

כן. חסר נתון. A צריכה להיות הפיכה

שאלה

בנוגע לתרגיל מס' 2 (בתרגיל 10). אני לא מצליח להבין איך אני מוכיח את זה. הסתכלתי בהוכחה ה"דומה" מההרצאה, אבל הכל שם מסתמך על זה שT אורתוגונלי, כאן T אנטי סימטרי, ובהוכחה מההרצאה עשינו משפטון על T אורתוגונלי במיוחד בשביל ההוכחה עצמה. אני פשוט לא מצליח. אפשר עזרה?

תשובה

מתי מסתמכים שם על כך שT א"ג? הרי ראינו שלכל אופרטור מעל הממשיים של מרחב אינווריאנטי ממימד 1 או 2.

משפטון: אם T א"ג אז אם U אינוורטי תחת T אז גם U ניצב אינוורטי תחת T ובמשפטון הזה משתמשים.

(זה לא ארז) אפשר להוכיח אותו דבר לגבי T אנטי-צל"ע

תרגיל 10

תרגיל 10 השבוע היה פשוט -קשה-. לא הספקתי את רוב התרגילים, ואני עדיין מתקשה איתם. אפשר בבקשה הארכה להגשה, כדי שנוכל להעזר במתרגל/מרצה ביום שלישי?

מצטרפת.

גם אני מצטרף, הבוחן באינפי לא אפשר לנו להשקיע מספיק זמן לתרגיל קשה כמו זה

תשובה

אפשר להגיש שבוע אחרי. אבל יהיה לכם עוד תרגיל לשבוע הבא, ולא נוסיף גם לו דחייה.

תודה רבה מקרב לב!

שאלה

במשפט הפירוק הפולארי, S הוא מעל R?

תשובה

כן, הכל מעל R

שאלה

אפשר רמז לגבי איך מוכיחים את היחידות בתרגיל 6?

תשובה

הרמז רשום בשאלה, מראים שהע"ע ומרחבים העצמיים של 2 כאלה הם שווים, ולכן הם אותו אופרטור

שאלה

יש לי דגמה נגדית לתרגיל 6 בקשר ליחידות וחיוביות לחלוטין. I ו- (I-) שתיהן בריבוע שוות לI ומינוס I שלילית לחלוטין... מה הבעיה?

תשובה

מינוס I אינו חיובי לחלוטין, כפי שרשמת. בתרגיל רשום למצוא מטריצה S חיובית לחלוטין וכזו יש רק אחת

שאלה

לא כ"כ קשורה לחומר הנלמד עכשיו אבל בכל מקרה :) אם נתון שx^2 הוא ע"ע של A^2, האם ניתן להוכיח שx ע"ע של A?

קחי מטריצה נילפוטנטית מסדר 2...

תשובה

לx יש 2 שורשים. אחד מהם חייב להופיע, השני לא בהכרח. למשל

[math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i\end{bmatrix} }[/math]

אחד השורשים חייב להופיע כי [math]\displaystyle{ f_{A^2}(x)=f_{A}(\sqrt{x})f_{A}(-\sqrt{x}) }[/math]

שאלה

בשאלה 4 בתרגיל 11 כתוב ש T וS מV לF העתקות ליניאריות העתקה ליניארית לא מV לV?

תשובה

לא. אופרטור הוא מV לV. העתקה לינארית היא מV לW שני מרחבים וקטוריים, והשדה הוא מרחב וקטורי מעל עצמו ממימד אחד. (העתקה לינארית מהמרחב לשדה נקראת גם פונקציונל)

שאלה לגבי שאלה מס' 4 בתרגיל 11

[math]\displaystyle{ T(v),S(u)\in \mathbb{F} }[/math] והרי [math]\displaystyle{ g :V \times V \to \mathbb F }[/math] אז [math]\displaystyle{ g(Tv,Su) }[/math] לא מוגדר...

הוא דווקא כן מוגדר, הרי F הוא מ"ו ממימד 1.

תשובה

דווקא שואל השאלה צודק. בסעיף הזה T וS צריכות להיות אופרטורים. אני אתקן ואעלה את זה שוב (זה לא משנה כמובן את ההוכחה, אבל תיאור הבעייה לא מדוייק).

• שיניתי את זה להיות g:FxF-->F. ככה צריך לשנות פחות פרטים בשאלה... ההוכחה נשארת זהה כך או כך.

שאלה לגבי שאלה מס' 1 בתרגיל 11

יש לי משהו שלא הבנתי בשאלה- בשאלה V1 V2 V3 הם בסיס, ז"א שאני יכול להציג את T באמצעות הבסיס הזה. אבל Tv1 TV2 TV3 בעמודות מטריצה, זה בדיוק ההצגה של T לפי הבסיס הנ"ל. ואם DetT חיובית אז גם אני אקבל שהסימן של הדטרמינטה של של TV1 TV2 TV3 חיובית... לא קשר לV1 V2 V3 המקורים ולא בהכרח באותו סימן. איפה לא הבנתי תשאלה טוב?

תשובה

Tv1 Tv2 Tv3 זה הצגת ההעתקה מהבסיס הזה לבסיס הסטנדרטי. הדטרמיננטה של אופרטור מוגדרת ע"י ההצגה שלו מבסיס מסויים לאותו הבסיס.

המשך השאלה

האם לכל מרחב וקטורי קיים בסיס סטנדרטי?

זו שאלה פילוסופית. שאלה 11 מדברת על R^3 כמובן, אחרת אין משמעות לפעולה "לשים את הוקטורים בעמודות מטריצה"

שאלה 1 או 11 לגבי R^3? אם לגבי 1, למה אין משמעות לשים את הוקטורים בעמודות מטריצה אם זה לא לR^3?

בנוגע לשאלה 1

• מה הסיבה לכך שניתן בסיס ממימד 3? האם אוריינטצייה בתרגיל זה מתייחסת אך ורק למימד 3? (כפי שהזכרנו את 'חוק היד הימנית')
• "שולח כל בסיס לבסיס עם אותה אוריינטצייה" - מה פירוש? האם הכוונה היא להצגה של T מבסיס אחד לבסיס שני, כלומר [math]\displaystyle{ [T]^{B_1}_{B_2} }[/math] ?

או שמא הפירוש הוא ש- [math]\displaystyle{ sign(det([T]_{B_2}))=sign(det([T]_{B_1})) }[/math] לכל שני בסיסים ממימד 3?

• ומה הכוונה ב"בסיס סדור"?

תשובה

• כן, בתרגיל זה מדברים על אוריינטציה במימד 3 כמו כלל היד הימנית
• אורינטציה היא פלוס או מינוס. נניח ולבסיס מסוים [math]\displaystyle{ v_1,v_2,v_3 }[/math] יש אורינטציה פלוס, השאלה היא מה האוריאנטציה של הבסיס [math]\displaystyle{ Tv_1,Tv_2,Tv_3 }[/math].
• בסיס סדור, הכוונה היא לבסיס שבו סדר הוקטורים קבוע ומשנה (בניגוד לסתם קבוצה). הרי אם נשנה את סדר הוקטורים בבסיס, ישתנה סדר הוקטורים בדטרמיננטה וכך גם הסימן שלה.

שאלה 5 בתרגיל 11

• בסעיף b, כדי להוכיח את השוויון: [math]\displaystyle{ [f]_B+[g]_B=[f+g]_B }[/math],

האם מותר להשתמש בתכונה הבאה: [math]\displaystyle{ (f+g)(u,v)=f(u,v)+g(u,v) }[/math] ? אם לא, איך ניתן להוכיח את השוויון?

הוכחנו בתרגיל שעבור v1...vn אברי בסיס B, האיבר ה-ij של [f] (בבסיס B) הוא (אינדקסים f(vi,vj) : (i,j תעשה לפי זה ולפי חיבור מטריצות וסיימת

תשובה

כן אפשר להשתמש בתכונה הזו כי זו ההגדרה של חיבור תבניות לינאריות. אחרת מה הכוונה בf+g?

תרגיל 11, שאלה 6 b

השאלה היא בדיוק ההגדרה. האם זו הכוונה?

תשובה

היא לא בדיוק אותו דבר, בתרגיל u ו-v התחלפו.

באמת קצת קשה לראות את זה, יש צורך קל להדגיש את זה.

לדעתי, ברגע שרואים שזה אותו דבר, עוברים על זה בצורה יותר יסודית, ורואים את זה אז. אבל לא חשוב, עכשיו כולם יודעים אז אין טעם בדבר.

אני אתקן את התרגיל לשנים הבאות, תודה.

לא הבנתי אותכם. יש טעות? אין טעות? אם יש מה התיקון?

אין טעות, הוא רק חושב (אם הבנתי נכון) שיעזור לפעמים הבאות להדגיש יותר את השינוי.

נכון, אין טעות. ה-v השני הוא מימין במקום משמאל. מכיוון שאין באופן כללי תכונת סימטריות לא ברור כלל אם כאשר שמים את הv מימין זה עובד או לא.

יש למישהו מכם מושג איך עושים את זה ומה התשובה בכלל?

לי יש מושג (ארז). תחשוב על המשפטים בכיתה (ובתרגיל) שמקשרים בין תבניות למטריצות, ותתרגם את השאלה ואז תנסה לפתור אותה.

נראה לי שעכשיו אני יודע.. השאלה היא האם לכל תבנית f אני יכול להגיד שקיים בסיס B כך ש f לפי B אלכסונית ? לא בעצם זה רק לסימטרית.. אז איך עושים את זה? שמישהו יתן רמז בבקשה, כל מי ששאלתי עד עכשיו לא יודע..

זה לתבניות כלליות, ולכן למטריצות כלליות לאו דווקא אלכסוניות. כמו שאמרתי תנסח את השאלה בצורה מטריצית ואז תנסה לפתור.

נסחתי את השאלה בצורה מטריצית. אם אני יודע שלכל u,v מתקיים:

[math]\displaystyle{ [v]^t_{B}[f]_B[u]_B\ne0 }[/math],

האם גם:

[math]\displaystyle{ [u]^t_{B}[f]_B[v]_B\ne0 }[/math] ?

זה לא ניסוח נכון של השאלה. השאלה היא אם קיים v כך שלכל u מתקיים [math]\displaystyle{ [v]^t_{B}[f]_B[u]_B=0 }[/math]

האם אותו דבר נכון לu.

שאלה בקשר לתרגיל 8

סעיף ב'. לא חסר נתון? האם S זה הבסיס הסטנדרטי, מהו המרחב הוקטורי?

תשובה

S תמיד הסטדנטרטי אלא אם כן נאמר במפורש אחרת. לגבי המרחב הוקטורי, נניח שהוא [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math].

תרגיל 8 סעיף ב'

אפשר רמז או כיוון כללי? פשוט לא נגענו בנושא הזה בהרצאה או בתרגול (רשמנו בתרגול משפט שקיים B כך שהמטריצה של התבנית הבילינארית לפי B אלכסונית, אבל לא דיברנו על איך למצוא את אותו B)? תודה.

תשובה

למדנו בתרגול למצוא את P ולמדנו שהP הזו הינה מטריצת מעבר בין בסיסים. משני אלה אפשר למצוא את הבסיס עצמו.

תודה

רק חבל שלא כל הקבוצות למדו שהP הזו הינה מטריצת המעבר בין בסיסים...

אז הנה:

נניח [math]\displaystyle{ P=[I]^C_B }[/math] כאשר B,C בסיסים. אזי

[math]\displaystyle{ f(v,u)=[v]_B^t[f]_B[u]_B=(P[v]_C)^t[f]_BP[v]_C=[v]_C^tP^t[f]_BP[v]_C }[/math]

זה נכון לכל זוג וקטורים v,u ולכן נובע ש

[math]\displaystyle{ [f]_C=P^t[f]_BP }[/math]

אבל בשאלה מבקשים למצוא את הבסיס וככה אנחנו מוצאים רק את ההצגה של התבנית לפי הבסיס..

אבל אחרי שמצאתי את המטריצה המייצגת בבסיס B אני רוצה למצוא את הבסיס עצמו. אני צריך לעשות 9 משוואות עם 9 נעלמים? ( שלושה וקטורים שלכל אחד מהם שלוש קואורדינטות).

למה אף אחד מהילדים לא עונה? איזה איגואיסטים .. מלא שאלות ורק ארז צריך לענות? מי שיודע שיענה גם הוא כשהוא לא ידע יוכל לקבל תשובה

בסעיף C הוקטור הנתון צריך להיות עמודה לא? כי אם לא הכפל לא יהיה מוגדר כאשר מחפשים את התבנית הריבועית..

וקטור זה וקטור, לא משנה איך רושמים אותו. כאשר רוצים לכפול אותו במטריצה צריך לשים אותו בצורה מתאימה, אבל כאשר אני מתאר וקטור אין משמעות לשורה או עמודה.

המשך

שכחתם את ההגדרה של מטריצת מעבר בין בסיסים? אם חישבת את P הבסיס B הוא מיידי. הרי במקרה זה זו מטריצת מעבר בין הבסיס הסטנדרטי לבסיס B.

מטריצת מעבר בין בסיס B לבסיס C היא וקטורי הקואורדינטות של איברי הבסיס B לפי הבסיס C בעמודות.

שאלה לגבי תרגיל 6 בתרגיל 10

אני לא מצליח להוכיח את היחידות.

הוכחתי שקיים S צל"ע, חיובי לחלוטין ולא סינגולרי כך ש S^2 = T.

נניח שקיים R צל"ע, חיובי לחלוטין, ולא סינגולרי כל ש R^2 = T.

ברצוני להוכיח ש R = S.

איך מוכיחים שיש להם אותם ע"ע ואותם מרחבים עצמיים?

מתקיים ש R^2 = S^2, האם זה אומר לי משהו על הע"ע של R ו S?

כל עזרה תתקבל בברכה.

תשובה

מה הקשר בין הע"ע של אופרטור לכסין, לע"ע של אופרטור לכסין בריבוע? אפילו מישהו שאל שאלה ממש דומה לזה לפני יום יומיים.

שנית, מה הקשר בין ו"ע של אופרטור לכסין לו"ע שלו בריבוע?

זה לא מסובך. פשוט תניח שv וקטור עצמי של T, מה יקרה כאשר תפעיל את T שוב?

אבל זה לא מה שצריך בשביל התרגיל הזה... מה שצריך לעשות זה להניח ש v ו"ע של S שמתאים לע"ע X^2, ואז להוכיח ש V הוא ו"ע של S שמתאים לע"ע X,

ולא ההיפך...

בכל זאת אני משאיר לך לחשוב קצת.. תחשוב למה חזרתי וציינתי שהאופרטור לכסין.

אז בעצם אתה אומר שאפשר להוכיח את הטענה הבאה: אם S אופרטור צל"ע, חיובי לחלוטין והפיך, וv הוא וקטור עצמי של S^2 ששייך לערך עצמי X^2, אזי v הוא וקטור עצמי של S ששייך לערך עצמי X.

אתה אומר שאפשר להוכיח את זה?

שאלה 3 תרגיל 11

אומרים קבע, האם צריך להוכיח שזו תבנית בילינארית או שלא?!

תשובה

מן הסתם צריך להצדיק את הקביעה שלך. נא לא להתחכם :)

שאלה

בנוגע לשאלה 5, אבל גם שאלה די כללית: אם אני מוכיח ש-f(u,v) ו-g(u,v) שווים לכל שני ווקטורים u,v במרחב, האם זה מוכיח ש-f=g? כלומר אני יכול להסתמך על זה? (f,g כמובן העתקות בי"ל)

תשובה

זו ההגדרה של שיוויון של פונקציות. שיוויון בכל נקודה.

תודה

(שואל אחר) ונניח שהגעתי לשוויון הבא:

[math]\displaystyle{ [u]_{B}^{t}[f+g]_B[v]_B=[u]_{B}^t([f]_B+[g]_B)[v]_B }[/math] לכל u,v, ולכל בסיס B, האם זה מספיק כדי להסיק ש: [math]\displaystyle{ [f+g]_B=[f]_B+[g]_B }[/math] ?

כן

שאלה בנוגע לשאלה 7

למה לעשות את זה כל כך מסובך?? אי אפשר להגיד ש-f(v,v( שווה בדיוק למינוס של f(v,v( וסיימנו?

לא משנה, הבנתי, סליחה על ההטרדה.

אני לא הבנתי למה מה שאמרת לא יהיה נכון - אתה יכול להסביר :) ?

(כי אפשר להכניס סקלר)

כי זה נכון לצד אחד, אבל הרמז עוזר להוכיח את הצד הקשה יותר. (קשה יחסית..)

שאלה בנוגע לתרגיל 6 (תרגיל 11)

אם הראתי שסכום ריבועי איברי המטריצה שווה ל-0 זה לאו דווקא אומר שכולם שווים ל-0, נכון? כי הרי מדובר בשדה F כלשהו?

תשובה

אני מניח שאתה מתכוון לסעיף הראשון, וכן זה לא מספיק. למשל הtr של מטריצת היחידה יכול להיות 0 בשדה ממאפיין 2

תרגיל 6 בתרגיל 10- יחידות

היי ארז, אני (ועוד רבים אחרים) ממש נודה לך אם תפרסם רמז משמעותי לגבי איך מוכיחים את היחידות בתרגיל 6 של תרגיל 10.

הרמזים שיש כרגע פשוט לא מספיקים, ואני משוכנע שאם תנסה להוכיח זאת בעצמך בדרך מדויקת ונכונה תיווכח בקושי.

אני לא רוצה לחרטט ולהמציא שום דבר, ולדעתי יהיה הרבה יותר מועיל אם נכתוב הוכחה מתמטית מדויקת עם רמז קטן מאשר שנתחיל לכתוב שטויות.

תודה רבה!

מצטרפת, דרוש רמז, הוכחת היחידות לא טריוויאלית בכלל.

תשובה

ואני משוכנע, שאם תקראו את התשובות האחרות תווכחו שלמעשה ההוכחה כתובה באתר כמעט לחלוטין...

כלל לא ברור כיצד להוכיח שלכל ע"ע ישנם אותם ע"ע.

אראה לך את הדרך שלי כדי שתיווכח בבעיה.

הוכחנו שקיים אופרטור S צל"ע, חיובי לחלוטין ולא סינגולרי כך ש S^2 = T.

נניח שקיים אופרטור R צל"ע, חיובי לחלוטין ולא סינגולרי כך ש R^2 = T.

נרצה להוכיח ש S = R.

נניח שהוכחנו של S ול R יש את אותם ערכים עצמיים.

נרצה כעת להוכיח שלכל ע"ע של S וR יש את אותם ע"ע עצמיים.

יהי v וקטור עצמי של R שקשור לע"ע t.

כלומר, [math]\displaystyle{ Rv = tv }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ R^2v = t^2v }[/math]

אבל לפי ההנחה [math]\displaystyle{ R^2 = S^2 = T }[/math], לכן [math]\displaystyle{ S^2v = t^2v }[/math].

כיצד ניתן מפה להוכיח ש v הוא וקטור עצמי של S ששייך לערך עצמי t?

המשך

פעם נוספת, האופרטורים לכסינים כלומר יש בסיס המורכב מו"ע שלהם. וזה גם לS וT וגם לריבועים שלהם. האם יכול להיות וקטורים עצמיים שונים לריבוע של אופרטור לכסין?

ארז, צריך להוכיח בכלל שהע"ע והו"ע שווים? אי אפשר להוכיח ישירות שR=S? אפשר הרי לומר שההצגה של R^2 לפי בא"נ B (ככה שהמטריצה יוצאת אלכסונית..) שווה להצגה של S^2 לפני בא"נ B. לפי תכונות ההצגה אפשר לפרק את זה ולגלות שההצגה של S לפי בא"נ B בריבוע שווה להצגה של R לפי בא"נ B בריבוע, ובגלל שאנחנו מעל R והאופרטורים מוגדרים חיובים, יוצא שR לפי B שווה לS לפי B ==> מה שאומר שR שווה לS.

בגדול זה נשמע לי תקין, חוץ מהעניין של בא"נ בריבוע. מה זה אומר? וקטורים אי אפשר להעלות בריבוע...

הכוונה פה היא לא לבא"נ בריבוע, אלא להצגה עצמה (לפי הבא"נ) - בריבוע..

אוקיי. למה אבל המעבר האחרון? למה ההצגה של R לפי B היא השורש בדיוק? מי אמר שזה לא איזה מריצה אחרת שהריבוע שלה בדיוק זה? מי אמר שR גם אלכסונית לפי B

שאלה

האם נוכל לראות את הבחנים? אם כן אז איך? בנוסף, איך אני מתקן את מספר הזהות?

תשובה

מחר נביא את הבחנים, ועל מנת לתקן את תעודת הזהות (זה מאד חשוב) תדבר עם המתרגל/ת שלך.

שאלה לגבי שמות עיבריים של שניוניות במרחב

בכל מקום הן מופיעות באנגלית. מהן השמות שלהן בעברית (לדוגמה, איך קוראים ל-Hyperboloid בשפת הקודש?)?

היפרבולה!! כאילו דא!!! זה כל כך ברור אתה לא רואה..?

ממש לא. כאן יש את השמות של האלו במישור והמעצבנות במרחב (באנגלית). היפרבולה היא hyperbola. השאלה שלי נשארת.

היפרבולואיד.

ולכל האחרים, פשוט לעברת לפי שמיעה?

כן, הכל בסגנון הזה. אולי חוץ מאשר cone שזה חרוט.

שאלה לגבי תרגיל 3

תרגיל 3 לא הגיוני. כי לפי הנתון A הפיכה ומתקיםA^2+A=0 --> A(A+I)=0) אם נכפול בA^-1 משמאל נקבל A+I שווה לאפס, ז"א A=-I.. אבל לא יתקים ש-tr(A)>0 כמו שדרוש בתרגיל.. בעיה?

תשובה

אתה צודק, פשוט המטרה היא לא למצוא את A. אתה יכול להחליף את התנאי בשאלה לתנאי ש [math]\displaystyle{ |A|\lt 0 }[/math]

המטרה זה למצוא את הע"ע.. אבל גם אם זה יהיה התנאי.. עדין יתקים סתירה כי הבעיה זה שני הנתונים האחרים. לא חיבים למצוא אותם ממש.. אבל הנתונים סותרים זה את זה. אם תוכל לכתוב את הנתונים באופן שלא יסתרו זה את זה זה יפתרו את הבעיה

ההחלפה שאמרתי פותרת את הסתירה. (הורדתי את A^2+A=0). תראה את התרגיל שהעלאתי.

רגע, הסימון [math]\displaystyle{ |A|\lt 0 }[/math] הוא לדטרמיננטה או לערך מוחלט? (אני לא כותב השאלה)

לא השתנה כלום בתרגיל..

התרגיל כן השתנה. במקום A^2+A=0 נתון detA<0. כמובן שזה דטר' מה זה ערך מוחלט של מטריצה?

בתרגיל עצמו שמורידים לא השתנה כלום..

כשאני מוריד זה כן שונה. אולי בעייה במחשב שלך. בכל מקרה, השינוי הוא כפי שאמרתי.

שאלה

שאני פותר את התרגילים שצריך למצוא את הצורה הקנונית- צריך גם להראות את הדרך של החלפת המשתנים? או שמספיק להציב בנוסחא מהתרגיל?

תשובה

הנוסחא מהתרגיל מספיק טובה לתרגיל של 2 על 2, אבל יש גם אחד של 3 על 3. הכי טוב להסביר את זה פעם אחת ואז לעשות שוב ושוב (בטח לא להראות לכל תרגיל מחדש.

שאלה

בתרגיל 4 יצא לי באחד מהסעיפים צורה קנונית שנראית כמו (אחרי החלפת משתנים וזה)Elliptic paraboloid מוויקיפדיה, רק עם מספר חופשי. אין שום צורה כזו בויקפדיה. איך קוראים לזה?

אתה צריך להיות יותר ספציפי. לא לרשום את הקבועים המדוייקים, אבל בגדול. אחרת אני לא יכול לענות על זה. כנראה שזו כן צורה מהוויקפדיה (אמור להיות שם הכל אני חושב) ואתה פשוט מפספס את הקשר בין הצורות

שאלה

ארז, אמרת שכאשר q(v)=vt * A * v אז A מתאימה לאופרטור צל"ע. למה?

תשובה

זה החומר של שיעור שעבר. הרי מה זה [math]\displaystyle{ v^tAv }[/math]? זה בדיוק תבנית בילינארית כלשהי [math]\displaystyle{ f(v,v) }[/math]. ולמדנו שכל תבנית ריבועית מתאימה לתבנית בילינארית סימטרית מסוימת. בקיצור, חומר של שיעור שעבר.

שתי שאלות

• האם יכול להיות מצב בו הצורה הקנונית של שנינונית ממעלה 1 (ממימד )3 תהיה שניונית ממעלה 2?
• בתרגיל למדנו איך למצוא את הסקלר d' בעזרת הערכים העצמיים של המטריצה. נניח שאחד הערכים העצמיים הוא 0, איך אפשר להפוך את השניונית לצורה קנונית?

תשובה

• תגדיר מעלה של שניונית. אני מנחש שאתה קורה לשניונית עם xy ממעלה 1 אבל זה לא נכון. המעלה הינה סכום המעלות. אם יש לך משוואה לינארית, לא יכול להיות שהיא תהפוך לריבועית.

• בתרגיל למדנו לבצע לכסון אורתוגונלי, ואז השלמה לריבוע ואז הזזה. אם אחד הע"ע הינו אפס, אז לא עושים למשתנה שלו השלמה לריבוע אלא רק לאחרים ורואים מה יוצא.

• אני מבין עכשיו שיכולה להיות הטעיה בניסוח התרגיל לגבי צורה קנונית. אם קיבלתם [math]\displaystyle{ ax^2+by^2=cz+5 }[/math] אז זו גם צורה קנונית....

• בדיוק, הבנתי אם כך את הנושא. כלומר, אם יש לי למשל 2xy+18xz יכול לצאת לי, תאורטית, x^2+12z^2?

• הבנתי, תודה רבה!! :)

• בנוגע לתרגיל בו קבלתי ערך עצמי 0, האם 0 יהיה המקדם של z^2 במקרה זה? (כלומר הצורה הקנונית של שניונית תהיה בכלל ממימד 2 למרות שהצורה המקורית שלה ממימד 3)

שוב, מה הכוונה של מימד? אם ע"ע הוא אפס, תקבל למשל משוואה מהצורה [math]\displaystyle{ ax^2+by^2+cx+dy+ez=f }[/math] ולאחר השלמה לריבוע והזזה תקבל [math]\displaystyle{ ax^2+by^2+ez=f }[/math]

ואיך קוראים לצורה הקנונית הזו?

זה תלוי בקבועים...

מה ז"א? איפה אני יכול לרואת רשימה שלהם? אם כל הקבועים שונים מ-0? בוויקפדיה באנגלית לא מופיע מקרה כזה

אפשר להמשיך לחלק בe ואז להזיז את z ואולי לשקף אותו על מנת לקבל את המקרה בוויקיפדיה. זה בדיוק כל הטריק, לעשות שינויים שלא משנים את הצורה על מנת להגיע לצורה מוכרת.

שאלה לגבי אחוז ההגשה

מהו אחוז שיעורי הבית שאפשר לא להגיש? הסמסטר נגמר ועוד לא אמרו לנו. כל המטרה של אחוז הגשה זה שאנחנו נתכנן את הזמן שלנו ונחליט מתי עדיף שלא נגיש את שיעורי הבית . תודה מראש.

תשובה

לא. אתם חייבים להכין את כל שיעורי הבית כי מטרת התרגילים היא לבסס את חומר הלימוד.

המטרה של אחוז ההגשה היא למקרים קיצוניים בהם לא היה אפשרי להגיש תרגיל, כי ברור שמקרים כאלה עלולים לקרות.

זו בדיוק לא הכוונה שתבחרו סתם לא להגיש תרגיל קשה, כי מן הסתם אנחנו מעוניינים שתעבדו על תרגיל קשה.

אז מה אחוז ההגשה המותר במקרים קיצוניים? יפה שאתם רוצים שנגיש את הכל אבל ככה זה לכל הסטודנטים אחוז הגשה ואי אפשר שלנו התיכוניסטים יהיו חוקים אחרים.

למה אי אפשר? אני לא ראיתי שום תקנון שמכריח אותי לעשות מה שנוח לכם :) כנראה שאם יהיה חסר תרגיל אחד לא תהיה בעייה לגשת למבחן.

תרגיל 12 שאלה 1

מה הכווונה בשינוי צורה של שניונית? איך בדיוק זה מתבטא? והאם בהכרח מטריצה אורתוגנולית היא מטריצת/סיבוב או שיקוף ב-R3 לפי מישור/ישר? תודה.

תשובה

שינוי צורה, הכוונה שהצורה נהיית אחרת, המרחק בין הנקודות משתנה, זויות בין ישרים משתנות וכו. ברור שסיבובים ושיקופים לא משנים את הצורה.

לגבי R^3 זו בדיוק השאלה של התרגיל. ולמדתם בהרצאה איך נראית המטריצה המייצגת של אופרטור א"ג מכל מימד, כולל R^3, אתם צריכים מתוך זה להסיק לבד מה הוא עושה.

שאלה

איך זה שלפני הבוחן ,נתתם פירוט מדויק שלו חודש וחצי לפני,ואילו למבחן שיערך בעוד שבועיים וחצי עוד לא נתתם כלל מידע?

צודק!! צריך פירוט דחוף

• אולי תבקשו דברים בצורה יפה ולא תדרשו? תופסים יותר זבובים עם דבש מאשר עם חומץ. ולעניין, אני מקווה שבקרוב יוחלט על פורמט המבחן ויהיה פירוט.

שאלה

• בהרצאה למדנו שכשעושים פעולות על השניונית מותר רק הזזות וסיבובים (אופרטורים אורתוגונליים עם דטר' 1) ואסור שיקופים (עם דטר' -1). איך בדיוק זה בא לידי ביטוי בתרגיל? צריך פשוט להראות שזה שומר מכפלה פנימית? אז למה דווקא בR3 ולא במרחב כללי? ואני לא זוכר שלמדנו משהו על המטריצה של אופרטור א"ג חוץ מA*(At)=I והאיברים על האלכסון.

תשובה

קצת מוזר לי שאסור שיקוף, בתרגיל אמרנו שמותר. באיזה הרצאה אמרו שאסור?

למדתם את הצורה של המטריצה המייצגת של אופרטור א"ג וגם היה לכם תרגיל מאד דומה על אופרטור אנטי צמוד לעצמו (בתרגיל 10).

שאלה

האם הצורה הקנונית של שניונית היא יחידה (עד כדי החלפת המשתנים זה בזה כמובן)? הסוג הוא יחיד, אבל גם הצורה הקנונית (המשוואה בסוף?)

תשובה

לא יודע, אני לא הגדרתי צורה קנונית בצורה מדוייקת. אני מניח שאם נגדיר בצורה מדוייקת היא תהיה יחידה, אבל המטרה שלי הייתה רק להסביר לאיזה צורה צריך להגיע (וגם את זה לא עשיתי טוב, כי לא התחשבתי במקרה של ע"ע אפס)

שאלה

האם מותר לפתור את תרגילים 2 ו 4 לפי הנוסחאות שפיתחנו בתירגול, בלי להראות החלפת משתנים והשלמה לריבוע וכו'?

תשובה

לא עשינו דוגמאות של 3 על 3 בכיתה בכלל. תסבירו מה אתם עושים, אולי תפרטו בתרגיל אחד. אין צורך לפרט בכל אחד מהתרגילים את החישובים מהתחלה. אבל כן יהיה טוב לרשום: מחליפים קואו', משלימים לריבוע, מזיזים וכו'

שאלה

מה זה אומר לי שלשתי שניוניות יש אותה צורה גאומטרית?

תשובה

השאלה המקורית היא: מה הצורה הגיאומטרית של השניונית. על מנת לענות על זה, מעבירים לשניונית אחרת עם אותה צורה גיאומטרית רק שהפעם אנחנו יכולים להגיד מה הצורה שלה.

מה עוד צריך שזה יגיד?

שאלה

איך יודעים מה הצורה או הצורה הקנונית של שניונית?? מה ההבדל בכלל????

תשובה

מה ההבדל בין מה למה?

צריך להביא את השנינית למצב שאפשר להגיד מה הצורה שלה (לפי רשימת הצורות מהשיעור או מהרצאה או מוויקיפדיה).

שאלה על הזזות

הזזה היא פעולה אורתוגונלית?

תשובה

כשמדובר על אופרטורים א"ג כמובן מדובר על העתקות לינאריות (זו ההגדרה של אופרטור). הזזה היא לא העתקה לינארית בכלל כי היא שולחת את אפס למקום אחר.

שאלה

האם בתרגיל 1 מותר לי להוכיח בכללי לכל מרחב וקטורי R^n? האם מותר לי להסתמך שהזזות ושיקופים לא משנים את צורת השניונית (זה בכלל משפט או שככה הגדירו אותם?)