שיחה:89-214 סמסטר א' תשעב/תקצירים

הנחיות

ראשית, קיראו את ההנחיות בעמוד הראשי. דף זה מיועד לשאלות בנוגע לתרגילים - כולל קושיות ותהיות מתמטיות, וגם סוגיות טכניות (לפחות עד שנגְלה את אלה לדף אחר). אנא אל תפתחו כותרות ראשיות שלא לצורך. עוזי ו. 19:28, 7 באוקטובר 2010 (IST)

שעור ראשון

אני מבקש להבהיר את נושא המחלק המשותף המקסימלי, שהשתבש קמעה במהלך השעור.

נניח ש-a,b הם שני מספרים (שלמים). הגדרנו שני מושגים *דומים אך שונים*:

• d הוא מחלק משותף מקסימלי אם המחלקים שלו הם בדיוק המחלקים המשותפים ל-a ול-b (בניסוח אחר, [math]\displaystyle{ \ x |d \leftrightarrow d|a,b }[/math]).
• d הוא מחלק משותף גדול ביותר אם הוא הגדול ביותר (לגבי יחס הסדר הרגיל) בין כל המחלקים המשותפים (סימנו ב-D את קבוצת המחלקים המשותפים, כך ש-[math]\displaystyle{ \ d = \max D }[/math]).

ההגדרה הראשונה אינה תלויה בסימן (כלומר, אם d מקיים אותה, גם d- מקיים אותה). בהגדרה השניה d תמיד חיובי.

אם מספר חיובי מקיים את ההגדרה הראשונה, אז הוא בוודאי מקיים את ההגדרה השניה (משום שכל מחלק משותף של a ו-b מחלק אותו). ההגדרה הראשונה "נקיה" יותר, אבל לשניה יש יתרון ברור: קל מאד להוכיח שהמחלק המשותף הגדול ביותר תמיד קיים (אלא אם a=b=0).

בשעור הצגתי את ההגדרה הראשונה, ועצרתי באמצע ההוכחה שהמחלק המשותף המקסימלי קיים. ומסיבה טובה: זו טענה שלא ניתן להוכיח בלי המשפט על צירופים שלמים. הרי המשפט והוכחת קיום המחלק המשותף המקסימלי.

משפט. תמיד אפשר להציג את המחלק המשותף הגדול ביותר של a,b כצירוף שלם שלהם. (הוכחנו בכתה באמצעות השוואה בין קבוצת הצירופים השלמים החיוביים לבין קבוצת המחלקים המשותפים).

מסקנה (שלא ראינו בכתה). המחלק המשותף המקסימלי תמיד קיים.

הוכחת המסקנה. יהי d המחלק המשותף הגדול ביותר של a,b, שלא שניהם אפס. נראה שהוא מחלק משותף מקסימלי. אכן, נניח ש-x מחלק משותף של a ו-b; יש להוכיח שהוא מחלק את d (וידוע רק שהוא קטן-או-שווה ל-d). ובכן, מכיוון ש-x מחלק את a ו-b, הוא מחלק גם כל צירוף שלם שלהם, ולפי המשפט הוא מחלק גם את d.

סיכום. מספר חיובי הוא מחלק משותף מקסימלי של a ו-b אם ורק אם הוא מחלק משותף גדול ביותר שלהם. את המחלק המשותף המשותף הזה, מסמנים [math]\displaystyle{ \ d = (a,b) }[/math]. עוזי ו. 17:06, 1 בנובמבר 2011 (IST)