פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 9
למה- יחידות צורת ז'ורדן עבור אופרטור בעל ע"ע יחיד:
ניסוח- יהי אופרטור שהפ"א שלו הוא חזקה של x-\lambda), אזי צורת ז'ורדן של T יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים.
הוכחה- בשלילה, נניח של-
יש הצגה חרת, אבל אז נקבל הצגה אחרת גם לאופרטור עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \lambdaI לא מוכרת): T-\lambdaI
, שידוע שהוא נילפוטנטי, בסתירה ליחידות במשפט ז'ורדן הנילפוטנטי.
יהי בסיס של
, המז'רדן את הט"ל
המוגדרת ע"י
.
יהי ע"ע של T. נשנה את סדר איברי B, כך שסדר הבלוקים יהיה כזה שכל הבלוקים המתאימים ל-
, כלומר מהצורה
, יהיו בחלק השמאלי-עליון של הסכום הישר; בניסוח יותר מדוייק, אם נציג את צורת ז'ורדן כסכום ישר של בלוקי ז'ורדן, אז הבלוקים המתאימים ל-
יהיו הראשונים בסכום.
אזי
, כאשר
היא המטריצה האלכסונית-בלוקים של כל הבלוקים מהצורה
, ואילו
היא סכום ישר של בלוקי ז'ורדן מהצורה
.
יהי k הר"א של , אזי
היא מסדר
, ולכן גודלה נקבע חד-ערכית ע"י T, ולכן ע"י A (שכן T נקבעת חד-ערכית ע"י A)
ידוע שמתקיים , כאשר
אינווריאנטי תחת
.
לכן, היא צורת ז'ורדן של האופרטור
, והפ"א שלו הוא חזקה של
. לפי הלמה, מספר הבלוקים
מכל גודל
נקבע באופן יחיד ע"י
.